【数学】杜教筛
前置知识：莫比乌斯反演，狄利克雷卷积等亿点数论知识。
不会不要紧，这里顺便一提。
积性函数
对于一个数论函数 \(\mathbf f\)，若对于任意的 \(a\perp b\)，都有 \(\mathbf f\left(ab\right) = \mathbf f\left(a\right)\mathbf f\left(b\right)\)，则称 \(f\) 为一个积性函数。即使不满足 \(a\perp b\) 时仍有 \(\mathbf f\left(ab\right) = \mathbf f\left(a\right)\mathbf f\left(b\right)\) 的数论函数被称为完全积性函数。
一些积性函数的例子：
- \(1\)，1 函数。对于任意的 \(n\)，有 \(1\left(n\right) = 1\)。（完全积性函数）
- \(Id_k\)，幂函数。\(Id_k\left(n\right) = n^k\)，当 \(k = 1\) 时下标可省略不写。（完全记性函数）
- \(\varphi\)，欧拉函数。
- \(\mu\) 莫比乌斯函数。
- \(\varepsilon\)。单位元。\(\varepsilon\left(n\right) = [n = 1]\)。（完全积性函数）
- \(\gcd\left(k, n\right)\)（\(k\) 为常数）。
狄利克雷卷积
对于两个数论函数 \(\mathbf f\) 和 \(\mathbf g\)，定义其狄利克雷卷积为:
可以证明，\(*\) 运算符合交换律和结合律。
其单位元为 \(\varepsilon\)。
两个积性函数的狄利克雷卷积仍旧是一个积性函数。
一些例子
- \(\mathbf f * \varepsilon = \mathbf f\)
- \(\mu * 1 = \varepsilon\)
- \(\varphi * 1 = Id\)
- \(Id * \mu = \varphi\)
- \(1 * Id = \sigma\)
- \(1 * 1 = d\)
后面两个分别是约数和函数和约数个数函数。
莫比乌斯反演
若两个数论函数 \(\mathbf f\) 和 \(\mathbf g\) 满足如下关系
那么就有
证明：把上面的式子写成 \(\mathbf f = \mathbf g * 1\)，然后两边同时卷上 \(\mu\) 即可。
杜教筛
杜教筛可以用于在非线性时间内求数论函数前缀和。
直接从具体例子入手，可能会好理解一些。
思考一个问题：\(\varphi\) 函数的前缀和怎么求？求出其 \(1\) 到 \(n\) 的前缀和，\(n\) 在 \(10^9\) 级别。
当数据范围很小的时候，我们的做法是通过线性筛筛出所有的 \(\varphi\) 函数值，然后求个前缀和。
然而在这种数据范围下，这种做法显然行不通了。
那我们来思考几个简单的问题：
- \(1\) 的前缀和是什么？显然是 \(n\)。
- \(Id\) 的前缀和是什么？显然是 \(\frac{n\left(n + 1\right)}{2}\)。
- \(Id\left(1\right)\) 的值是多少？显然是 \(1\)。
而我们考虑到 \(\varphi * 1 = Id\)。
考虑能不能用这些很好求前缀和的数论函数来求 \(\mu\) 的前缀和。
设 \(\sum_{i = 1}^n\varphi\left(i\right) = s\left(n\right)\)。
那么就有
改变枚举顺序，考虑每个 \(1\left(d\right) =1\) 的贡献,那么原式等于
那么 \(s\left(n\right)\) 值是什么？答案是：
哇，我们发现了什么？
后面的那个 \(s\) 我们可以在一边数论分块，一边递归的求。
这样我们就可以筛出一些比较小的时候的 \(s\) 的值，然后用个 map 记忆化一下计算。
LL sum_phi(LL n) {
if(n <= N) return sphi0[(int)n];
if(sphi.count(n)) return sphi[n];
LL res = 1ll * n * (n + 1) / 2;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_phi(n / l);
}
return sphi[n] = res;
}
推广到一般情况，则可以得出下面的式子
对于一个数论函数 \(\mathbf f\)，设 \(s\left(n\right) = \sum_{i = 1}^n\mathbf f\left(i\right)\)，另外有数论函数 \(\mathbf g\)。
有
如果您能够快速求出 \(\left(\mathbf {f * g}\right)\) 的前缀和，\(\mathbf g\) 的前缀和，以及 \(\mathbf g\left(1\right)\) 的值的话，也就意味着您能够用类似于上面求 \(\sum_{i = 1}^n \varphi\left(i\right)\) 的方式，快速求出 \(\mathbf f\) 的前缀和！
算法的复杂度是 \(\mathcal O(n^{\frac{2}{3}})\) 的。
这就是杜教筛啦。
完整代码 洛谷 P4213 【模板】杜教筛
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
template <typename Temp> inline void read(Temp & res) {
Temp fh = 1; res = 0; char ch = getchar();
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') fh = -1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ '0');
res = res * fh;
}
namespace Math {
#define N (10000000)
const int Maxn = 1e7 + 5;
bool isprime[Maxn]; int prime[Maxn], cnt_prime; LL phi0[Maxn], mu0[Maxn];
void sieve() {
phi0[1] = mu0[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++i) {
if(!isprime[i]) {
prime[++cnt_prime] = i;
phi0[i] = i - 1; mu0[i] = -1;
}
for(int j = 1; j <= cnt_prime && prime[j] <= N / i; ++j) {
int cur = i * prime[j];
isprime[cur] = 1;
if(i % prime[j] == 0) {
phi0[cur] = phi0[i] * prime[j];
mu0[cur] = 0; break;
} else {
phi0[cur] = phi0[i] * (prime[j] - 1);
mu0[cur] = -mu0[i];
}
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i) phi0[i] += phi0[i - 1], mu0[i] += mu0[i - 1];
}
std::map<LL, LL> mu, phi;
//mu * 1 = epsilon
LL sum_mu(LL n) {
if(n <= N) return mu0[(int)n];
if(mu.count(n)) return mu[n];
LL res = 1ll;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_mu(n / l);
}
return mu[n] = res;
}
//phi * 1 = id
LL sum_phi(LL n) {
if(n <= N) return phi0[(int)n];
if(phi.count(n)) return phi[n];
LL res = 1ll * n * (n + 1) / 2;
for(LL l = 2, r = 1; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
res -= 1ll * (r - l + 1) * sum_phi(n / l);
}
return phi[n] = res;
}
#undef N
}
int T, n;
int main() {
using namespace Math;
sieve();
read(T);
while(T--) {
read(n);
printf("%lld %lld\n", sum_phi(n), sum_mu(n));
}
return 0;
}
