【数学】组合数学与计数

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写在前面

感谢 caq 的奇奇怪怪的组合数学笔记，实在看不下去了！

文中如无特殊说明，只有在出现 \(A_{n}^{m}\) 的式子中，组合数才使用 \(C_{n}^{m}\)，其余一律用 \(\dbinom{n}{m}\)。

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概念

计算式会在正文给出。

排列

从 \(n\) 个数中选择 \(m\) 个数，与排列顺序有关的方案数被称为 \(n\) 排列 \(m\)，记作 \(A_{n}^{m}\)。

全排列

特别的，当 \(n = m\) 时，\(A_{n}^{m}\)，被称为 \(n\) 或 \(m\) 的全排列。

组合

从 \(n\) 个数中选择 \(m\) 个数，只与选择的数有关的方案数被称为 \(n\) 选 \(m\)，记作 \(\dbinom{n}{m}\) 或 \(C_{n}^{m}\)。

实际应用中，组合的应用范围远远比排列要广。排列经常只被使用全排列这一种形式来辅助组合的计算。

正文

计算式

组合：

\[\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!} \]

排列：

\[A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!} \]

因此那么显然有：

全排列：

\[A_{n}^{n} = n! \]

排列与组合的关系：

\[A_{n}^{m} = C_{n}^{m} \times A_{m}^{m} \]

接下来我们把目光重点放在组合上。

组合数计算式

计算式

下面提供四种计算组合数的计算式。

\[\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}\tag{1} \]

\[\binom{n}{m} = \binom{n - 1}{m - 1} + \binom{n - 1}{m}\tag{2} \]

\[\binom{n}{m} = \frac{n}{m}\binom{n - 1}{m - 1}\tag{3} \]

\[\binom{n}{m} \bmod p = \binom{n \bmod p}{m \bmod p}\binom{\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\dfrac{m}{p}\rfloor} \bmod p(p \in \mathbb P)(\text{Lucas 定理})\tag{4} \]

证明

待填。

实现

第一个，预处理出阶乘即可。

如果要求在取模意义下，分母部分可以预处理阶乘的逆元。

预处理时，只需计算出最大可能的 \(n\) 的阶乘的逆元，然后倒推即可。

复杂度是 \(O(n)\) 的，一般用于计算 \(n, m \le 10^6\) 范围内的组合数，是很有用的组合数计算方式。

具体实现可以参考我的 这篇题解。

同时，这个方法也可以用来预处理一整个数列的乘法逆元。不难推导，读者可以自行思考一下。

第二个，是组合数的递推式。

如果把组合数的 \(n,m\) 较小的答案算出来，不难发现就是个“杨辉三角”。

因此就可以递推了。

这个方法的时空复杂度都是 \(\mathcal O(n^2)\) 的，不如第一个优秀，这种方法能实现的，第一种方法都能代替。

第三个，是组合数的另一种计算式。

这种方法把直接用组合数计算式 \(\dfrac{n!}{m!(n - m)!}\) 分子中的 \(n!\)、分母中的 \(m!\) 拆开来，成为：

\[\dfrac{n}{m}\cdot\dfrac{(n - 1)!}{(m - 1)![(n - 1) - (m - 1)]!} \]

即

\[\dfrac{n}{m}\dbinom{n - 1}{m - 1} \]

我们知道，当 \(m = 0\) 时，无论 \(n\) 为何值， \(\dbinom{n}{m}\) 恒为 \(1\)。

因此，这种方法可以一直迭代下去，直到表示到 \(m = 1\)。

常用于 \(n\) 巨大（一般在 \(10^9\) 级别），而 \(m\) 较小（一般在 \(10^5\) 级别）的时候组合数的计算。

实现时可以预处理 \(1\) 到 \(m\) 的逆元。

第四种，待填。