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【因果推断】中介因果效应分解汇总与理解

中介因果效应分解汇总与理解

中介因果效应分解汇总与理解

1. 前言

在学习因果推断相关文章时[4,5]，对总体因果效应如何分解为直接效应和间接效应产生了一些困惑，查阅相关资料[1,2,3]后，将因果效应分解的相关概念汇总形成此文，希望帮助有需要的同学理清概念，加深理解。

关于因果推断更基础的知识请参考相关书籍[6,7]。

2. 问题描述

中介效应，是指在因果模型中，Treatment X 对Outcome Y的因果效应可能有一部分是通过中介变量M（Mediation）传递过去的。例如：

抽烟（X），患肺癌（Y），血脂水平（M）
国家（X），新冠死亡率（Y），新冠患者年龄分布（M）[8]，参见【因果推断论文】中国新冠死亡率更高？- 新冠死亡率的辛普森悖论
物品的曝光特征（如文章标题、视频封面）（X），用户对物品的兴趣（X），用户的点击行为（Y）[4]
服用药物（X），病情缓解（Y），阿司匹林服用量（M）[1]，参见【因果推断经典论文】Direct and Indirect Effects - Judea Pearl
- 服用药物有一个副作用——头痛，这会导致患者服用阿司匹林的剂量增加。而阿司匹林的服用剂量增加有利于药物效果的发挥。

在这种因果模型中，我们感兴趣的问题是，X对Y的因果效应中，有多大比例是通过M传递过去的？

中介效应分析对于政策制定[1]、理解数据[8]都有重要作用。
例如
- 药物（X）对病情（Y）的影响有多少是通过阿司匹林剂量（M）造成的？药物（X）通过直接路径有多大效果？如果副作用被消除，药物的效果会受到多大影响？[1]
- 不同国家（X）之间新冠死亡率的差异（Y）有多少是由于患者年龄分布（M）造成的？[8]

3. 符号定义

当 $X=x，M=m$ 时，Y的取值记为 $Y_{xm}$ 。

当 $X=x$ 时，M的取值记为 $M_x$ 。

简单起见，假设X是二元变量，例如：

当 $X=1,M$ 取 $X=1$ 时M的值时，Y的取值记为 $Y_{1M_1}$ 。
当 $X=1,M$ 取 $X=0$ 时M的值时，Y的取值记为 $Y_{1M_0}$ 。

在很多论文中，也将X=1记为X=x，将X=0记为 $X=x^\star$ ，对应的， $M_1$ 记为m， $M_0$ 记为 $m^\star$ ，则 $Y_{1M_1}$ 记为 $Y_{xm}$ ， $Y_{1M_0}$ 记为 $Y_{xm^\star}$ 。

4. 总体效应、直接效应与间接效应

以下以第二部分叙述过的药物和阿司匹林的例子[1]来说明各个效应的含义。

总体效应（Total Effect, TE）：

\begin{aligned} (1) & T E = E [Y_{1}] - E [Y_{0}] = E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}] \end{aligned}

$\begin{align} T E =\mathbb{E}\left[Y_{1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0}\right] = \mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right] \end{align}$

服用药物对病情缓解整体上有多大作用？

控制直接效应（Controlled Direct Effect, CDE）：

\begin{aligned} (2) & C D E = E [Y_{1 m}] - E [Y_{0 m}] \end{aligned}

$\begin{align} CDE = \mathbb{E}\left[Y_{1m}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{0m}\right] \end{align}$

如果在服用药物时，嘱咐患者将阿司匹林用量调整到m，则药物会有多大作用？
- 注意这里的m是人为定义的，既不是服药前的自然用量，也不是服药后的自然用量，相当于 $do(M=m)$
- 由于控制变量——阿司匹林用量是被人为控制的，不是自然的，且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为m），因此称为“控制直接效应”。

自然直接效应（Natural Direct Effect, NDE or Pure Direct Effect, PDE）:

\begin{aligned} (3) & N D E = P D E = E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}] \end{aligned}

$\begin{align} NDE = PDE= \mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right] \end{align}$

如果病人在服用药物的同时，保持阿司匹林服用量不变（不因为药物副作用而改变阿司匹林用量），则药物会有多大效果？
- 保持阿司匹林的服用量和服药之前一致，这个用量对于不同患者来说是不同的——患者由于基础疾病和身体情况不同，有各自不同的用药习惯。
- 由于控制变量——阿司匹林用量是“自然”的，且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为 $M_0$ ），因此称为“自然直接效应”。

自然间接效应（Natural Indirect Effect, NIE or Pure Indirect Effect, PIE）：

\begin{aligned} (4) & N I E = P I E = E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}] \end{aligned}

$\begin{align} NIE = PIE = \mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right] \end{align}$

如果病人不服药，但是将阿司匹林用量调整到服药后的量，病情会有多大程度的缓解？
- 只调整阿司匹林的量，估计通过间接路径产生的因果效应。
- 由于控制变量——不服药是“自然”的，且衡量的是间接路径的影响（控制了服药量为0），因此称为“自然间接效应”

总体直接效应（Total Direct Effect, TDE）

\begin{aligned} (5) & T D E = E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{1}}] \end{aligned}

$\begin{align} TDE = \mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right] \end{align}$

服药且改变阿司匹林用量，与只改变阿司匹林用量相比，治疗效果有多大提升？
- 控制阿司匹林用量都是服药后的量，比较服药和不服药的区别。
- 控制变量——阿司匹林用量是服药后的自然服用量（包含了服药的影响），且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为 $M_1$ ），因此称为“总体直接效应”。

总体间接效应（Total Indirect Effect, TIE）

\begin{aligned} (6) & T I E = E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}] \end{aligned}

$\begin{align} TIE = \mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right] \end{align}$

在服药的条件下，因为副作用而增加阿司匹林用量对治疗效果有影响吗？
- 控制变量——服药量为1（不是自然情况，自然情况应该是0），衡量的是间接路径的影响，称为“总体间接效应”。

5. 总体效应的分解

总体效应TE可以被分解为直接效应和间接效应[1,2]，或分解为直接效应、间接效应和交互效应[3]。[9]

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} E [Y_{1}] - E [Y_{0}] = & E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}] \\ = & \underset{T D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{1}}])}} + \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ = & \underset{T I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}])}} + \underset{P D E / N D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ = & [\underset{T I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}])}} - \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}}] \\ + \underset{P D E / N D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} + \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}\left[Y_{1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0}\right] =&\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right] \\ =&\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]\right)}_{T D E}+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E}\\ =&\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E}+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P D E/ N D E} \\ =&\left[ \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E} - \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E} \right] \\ &+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P D E/ N D E} + \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E}\\ \end{aligned} \end{equation}$

分析 $\left[ \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E} - \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E} \right]$ 这一项：

如果 $M_1$ = $M_0$ ，则此项为0，且总体间接效应和自然间接效应都为0——中介变量不带变的，就没有间接效应了。
如果 $M_1=1, M_0 = 0$ ，则

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} (M_{1} - M_{0}) = 1 ， \\ (E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}]) - (E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}]) = \\ (E [Y_{11}] - E [Y_{10}] - E [Y_{01}] + E [Y_{00}]) (M_{1} - M_{0}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} &(M_1-M_0)=1，\\ &\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right) - \left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right) = \\ &\left(\mathbb{E}\left[Y_{11}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{10}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{01}\right]+\mathbb{E}\left[Y_{00}\right]\right)(M_1-M_0) \end{aligned} \end{equation}$

如果 $M_1=0, M_0 = 1$ ，则

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} (M_{1} - M_{0}) = - 1 ， \\ (E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}]) - (E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}]) \\ = & (- E [Y_{11}] + E [Y_{10}] + E [Y_{01}] - E [Y_{00}]) \\ = & (E [Y_{11}] - E [Y_{10}] - E [Y_{01}] + E [Y_{00}]) (M_{1} - M_{0}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} &(M_1-M_0)=-1，\\ &\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right) - \left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right) \\ =&\left(-\mathbb{E}\left[Y_{11}\right]+\mathbb{E}\left[Y_{10}\right] + \mathbb{E}\left[Y_{01}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{00}\right]\right)\\ =&\left(\mathbb{E}\left[Y_{11}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{10}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{01}\right]+\mathbb{E}\left[Y_{00}\right]\right)(M_1-M_0) \end{aligned} \end{equation}$

因此，(7)式可进一步推导为：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \underset{T E}{\underset{⏟}{E [Y_{1}] - E [Y_{0}]}} = & \underset{T E}{\underset{⏟}{E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}]}} \\ = & \underset{T D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{1}}])}} + \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ = & \underset{T I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}])}} + \underset{P D E / N D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ = & [\underset{T I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{1}}] - E [Y_{1 M_{0}}])}} - \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}}] \\ + \underset{P D E / N D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} + \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ = & \underset{P D E / N D E}{\underset{⏟}{(E [Y_{1 M_{0}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} + \underset{P I E / N I E}{\underset{⏟}{(E [Y_{0 M_{1}}] - E [Y_{0 M_{0}}])}} \\ + \underset{I n t e r a c t i v e E f f e c t s}{\underset{⏟}{(E [Y_{11}] - E [Y_{10}] - E [Y_{01}] + E [Y_{00}]) (M_{1} - M_{0})}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} \underbrace{\mathbb{E}\left[Y_{1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0}\right]}_{TE} =&\underbrace{\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]}_{TE} \\ =&\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]\right)}_{T D E}+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E}\\ =&\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E}+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P D E/ N D E} \\ =&\left[ \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]\right)}_{T I E} - \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E} \right] \\ &+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P D E/ N D E} + \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E}\\ =&\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{1M_0}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P D E/ N D E} + \underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{0M_1}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{0M_0}\right]\right)}_{P I E/ N I E}\\ &+\underbrace{\left(\mathbb{E}\left[Y_{11}\right]-\mathbb{E}\left[Y_{10}\right] - \mathbb{E}\left[Y_{01}\right]+\mathbb{E}\left[Y_{00}\right]\right)(M_1-M_0)}_{Interactive\ Effects} \end{aligned} \end{equation}$

至此，我们得到了非线性模型总体效应的分解方法：

分解为直接效应和间接效应[1]，有总体直接效应+自然间接效应和自然直接效应+总体间接效应两种。
分解为直接效应、间接效应和交互效应[3]，则是自然直接效应+自然间接效应+交互效应。

如果是线性模型，则交互效应为0， $NDE=TDE, NIE=TIE$ 。[1,2,3]

参考文献

[1] J. Pearl, “Direct and indirect effects,” in Proc. 17th Conf. Uncertainty Artif. Intell., 2001, pp. 411–420

[2] Robins J M, Greenland S. Identifiability and exchangeability for direct and indirect effects[J]. Epidemiology, 1992: 143-155.

[3] VanderWeele T J. A three-way decomposition of a total effect into direct, indirect, and interactive effects[J]. Epidemiology (Cambridge, Mass.), 2013, 24(2): 224.

[4] Wang W, Feng F, He X, et al. Clicks can be cheating: Counterfactual recommendation for mitigating clickbait issue[C]//Proceedings of the 44th International ACM SIGIR Conference on Research and Development in Information Retrieval. 2021: 1288-1297.

[5] Wei T, Feng F, Chen J, et al. Model-agnostic counterfactual reasoning for eliminating popularity bias in recommender system[C]//Proceedings of the 27th ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2021: 1791-1800.

[6] Pearl J, Glymour M, Jewell N P. Causal inference in statistics: A primer[M]. John Wiley & Sons, 2016.

[7] Imbens G W, Rubin D B. Causal inference in statistics, social, and biomedical sciences[M]. Cambridge University Press, 2015.

[8] von Kügelgen J, Gresele L, Schölkopf B. Simpson's paradox in Covid-19 case fatality rates: a mediation analysis of age-related causal effects[J]. IEEE Transactions on Artificial Intelligence, 2021, 2(1): 18-27.

[9] Direct and Indirect Effects 馒头and花卷博客园 https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/14615052.html

posted @ 2021-12-30 10:42 子豪君阅读(5870) 评论(2) 编辑收藏举报

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