hdu3949 xor

这个题是用来研究xor性质的一道好题。

首先我们可以暴力地找出些规律，我们发现不管拿出多少个数，他们能xor到的数，出现的次数都是一样的，并且都是2的倍数。事实上，我们不论用原数ai还是ai xor aj得到的数，去xor起来得到的数都是这些。

这样我们可以想方设法地化简我们用到的基数，也就是找到一组基数使得它们能够xor出所有原数能xor出的数，并且要尽量简单。我们可以模仿高斯消元的过程，就是把每个数当成一行二进制数去消元，然后保留一个类似上三角的东西，从高位向低位每一行保留连续的几个1，这些1行与行之间是不重复的，但每一行之中还会有额外的一些1，这些1是可重复的，就造成了一些数是xor不出来的。

自我感觉表述的好乱....

假设我们选出了m行，也就是m个基数，那么我们可以xor出2^m个数，如果总共给你了n个数，那么就有n-m个数是可以被那些基数完全替代的，这些行在高斯消元的过程中就是自由变量。这些行的值为0，也就是它去xor任意一个数，原数都不会改变，这样就产生了2^n-m个重复的数，这样便验证了我们一开始的结论。

其实这组基数还有一个很好的性质，就是xor出的第k大(去重)的数，恰好是k二进制分解后对应位上的基数xor起来的到的数。因为从上到下每个基数代表了从高到低的一些二进制位，那么我们就相当于用这些连续的二进制位去组合形成所有的数。

那对于这个题来说，我们要求第k大的数，我们把m行基数求出来了以后，选出k的各个二进制位对应的基数，xor起来就是答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 22000
#define inf 1000000000
#define bit 63
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
LL a[maxn];
int n,m,qu;
LL zi;

void gauss(int n)
{
    int k=1;
    for (int i=bit;i;i--)
    {
        int p=0;
        for (int j=k;j<=n;j++) if ((a[j]>>(i-1))&1) {    p=j; break;    }
        if (p)
        {
            swap(a[k],a[p]);
            for (int j=1;j<=n;j++) if ((j!=k)&&((a[j]>>(i-1))&1)) a[j]^=a[k];
            k++;
        }
    }
    m=k-1;
}

int main()
{
    int cas,now=0;
    scanf("%d",&cas);
    while (cas--)
    {
        printf("Case #%d:\n",++now);
        memset(a,0,sizeof(a));
        m=0;
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%I64u",&a[i]);
        gauss(n);
        scanf("%d",&qu);
        for (int i=1;i<=qu;i++)
        {
            scanf("%I64u",&zi);
            if (m<n) //存在自由元
                if (zi==1){     printf("0\n"); continue;    }//rank1的是0
                else zi--;//否则从1开始记
            if (zi>=((LL)1<<m)) printf("-1\n");//除去0总共有2^m个
            else 
            {
                LL ans=0;
                for (int i=1;i<=m;i++)
                    if ((zi>>(i-1))&1) ans^=a[m-i+1];
                printf("%I64u\n",ans);
            }
        }
    }
    return 0;
}

注意long long，注意0的情况