[省选联考 2024] 魔法手杖 题解

首先有个很显然的 \(\mathcal O(nk^2)\) 的做法，即二分答案，然后 trie 树上判断。

对于 trie 树上一颗子树内的判定，考虑当前二分的 \(\text{mid}\) 这一位是 \(1\) 还是 \(0\) 以及 \(x\) 这一位填什么。

• 对于 \(1\) 的情况，如果填 \(0\)，那么右儿子仍然合法，左儿子中的数必须要放到集合 \(S\) 中。预处理出一个子树内 \(a\) 的最小值以及 \(b\) 的和，递归到右儿子继续求解。填 \(1\) 的情况类似。

• 对于 \(0\) 的情况，如果填 \(0\)，那么右儿子已经满足异或值 \(>\text{mid}\)，递归到左儿子继续求解。填 \(1\) 的情况类似。

发现这种做法每个点只会被遍历一次，可以获得云斗 \(92\) & CCF \(72\) 分的好成绩。

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优化的部分就简单了。

考虑怎么优化。发现可以把二分去掉，在子树内贪心考虑如果答案的当前位填 \(1\)，剩下的位全填 \(0\) 是否有解，如果有解就填 \(1\)，否则填 \(0\)。

发现判定可以用之前预处理出来的东西 \(\mathcal O(1)\) 做，每个点只会被遍历一次。所以时间复杂度 \(\mathcal O(nk)\)，可以通过此题。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mxn 100003
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define rept(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}
inline __int128 read1(){
    __int128 x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}
inline void print(__int128 a){
    if(a>9)print(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
int c,T,n,m,k,b,sm,tot,f[mxn*120],t[mxn*120][2];
__int128 a,mn,pw[123],A[mxn],s[mxn*120];
void ins(){
    int p=0;
    drep(i,k-1,0){
        if(!t[p][(a>>i)&1])t[p][(a>>i)&1]=++tot,f[tot]=0,s[tot]=a;
        p=t[p][(a>>i)&1],f[p]=min(f[p]+b,m+1),s[p]=min(s[p],a);
    }
}
__int128 solve(__int128 mid,int x,int d,__int128 now,__int128 mn,int sum,bool fl){
    if(sum>m)return 0;
    if(d<0)return mid;
    __int128 ans=0;
    if(pw[d]-1+(fl&&t[x][1]?min(mn,s[t[x][1]]):mn)+now>=mid){
    	ans=max(ans,solve(mid+pw[d],fl?t[x][0]:0,d-1,now+pw[d],fl&&t[x][1]?min(mn,s[t[x][1]]):mn,min(sum+(fl?f[t[x][1]]:0),m+1),fl&&t[x][0]));
	}
    if(pw[d]-1+(fl&&t[x][0]?min(mn,s[t[x][0]]):mn)+now>=mid+pw[d]){
    	ans=max(ans,solve(mid+pw[d],fl?t[x][1]:0,d-1,now,fl&&t[x][0]?min(mn,s[t[x][0]]):mn,min(sum+(fl?f[t[x][0]]:0),m+1),fl&&t[x][1]));
	}
	if(ans)return ans;
	if(pw[d]-1+mn+now>=mid){
		ans=max(ans,solve(mid,fl?t[x][0]:0,d-1,now,mn,sum,fl&&t[x][0]));
	}
	if(pw[d+1]-1+mn+now>=mid){
		ans=max(ans,solve(mid,fl?t[x][1]:0,d-1,now+pw[d],mn,sum,fl&&t[x][1]));
	}
    return ans;
}
signed main(){
    c=read(),T=read();
    pw[0]=1;
    rep(i,1,120)pw[i]=pw[i-1]*2;
    while(T--){
        n=read(),m=read(),k=read();
        rep(i,0,tot)t[i][0]=t[i][1]=0;
        tot=0;
        sm=0,mn=pw[k];
        rep(i,1,n)A[i]=read1();
        rep(i,1,n){
            b=read(),a=A[i];
            ins();
            sm=min(sm+b,m+1),mn=min(mn,a);
        }
        if(sm<=m){
            print(mn+pw[k]-1);
            puts("");
            continue;
        }
        print(solve(0,0,k-1,0,pw[k],0,1));
        puts("");
    }
    return 0;
}