CF1034E Little C Loves 3 III 题解

这道题与 P6097 【模板】子集卷积 基本相同，但是每个元素的值属于 \([0,3]\)，且 \(n\le 21\)，时限 \(\rm1s\)。

在做 P6097 这道题的时候，我们多开了一维用来记录二进制下 \(1\) 的个数。但是这道题每个元素的值只属于 \([0,3]\)，我们可以用一种十分巧妙的方法：

我们设 \(f(x)\) 表示 \(x\) 在二进制下 \(1\) 的个数，于是题目中 \(j\&k=0\) 的条件就可以转化为 \(f(j)+f(k)=f(j|k)\)，我们可以将每一个 \(a_i\) 和 \(b_i\) 乘上 \(4^{f(i)}\)，我们用 FWT 求出 \(c'\)：

\[{c'}_i=\sum_{j|k=i} a_j\times b_k \]

那么我们就可以得到：

\[c_i\equiv\frac{{c'}_i}{4^{f(i)}}(mod\ 4) \]

那么为什么这是正确的呢？

因为如果 \(f(j)+f(k)\ne f(j|k)\)，那么 \(f(j)+f(k)\) 一定大于 \(f(j|k)\)，

\[4\mid\frac{4^{f(j)}\times 4^{f(k)}}{4^{f(j|k)}} \]

因为最终答案要对 \(4\) 取模，所以这不会被计入答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mxn 2097152
#define pb push_back
#define mkp make_pair
#define ld long double
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define rept(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
inline ll read(){
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	return c-'0';
}
int n,mx,ct[mxn];
ll a[mxn],b[mxn];
void fwt(ll *a,int n,int d){
	for(int k=1;k<n;k<<=1)
		for(int p=k<<1,j=0;j<n;j+=p)
			rept(i,j,j+k)a[i+k]+=a[i]*d;
}
signed main(){
	scanf("%d",&n),mx=1<<n;
	rept(i,1,mx)ct[i]=ct[i>>1]+(i&1);
	rept(i,0,mx)a[i]=read()<<(ct[i]<<1);
	rept(i,0,mx)b[i]=read()<<(ct[i]<<1);
	fwt(a,mx,1),fwt(b,mx,1);
	rept(i,0,mx)a[i]*=b[i];
	fwt(a,mx,-1);
	rept(i,0,mx)putchar(((a[i]>>(ct[i]<<1))&3)+'0');
	return 0;
}