一道有趣的积分题

写在开头：zerorange 太巨了。

题目

求：

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$$

解

首先发现 $e^{-x^2}$ 不存在原函数。

令：

$$f(x)=e^{-x^2}$$$$h(x,y)=f(x)\cdot f(y)$$

转化一下：

$$h(x,y)=e^{-x^2-y^2}=f(\sqrt{x^2+y^2})$$

考虑先求出这个东西的平方：

$$\iint_{R}h(x,y)\,dx\,dy$$

用 $f(\sqrt{x^2+y^2})$ 带入，考虑枚举半径：

$$\int_{0}^{\infty}2\pi x\cdot f(x)\,dx$$

把 $\pi$ 提到外面：

$$\pi \int_{0}^{\infty}2x\cdot f(x)\,dx$$

这时候发现 $2x\cdot f(x)$ 存在原函数（$-e^{-x^2}$），于是这个积分就求出来了：

$$\iint_{R}h(x,y)\,dx\,dy=\pi\left(\left(\lim _{x\to \infty}-e^{-x^2}\right)-\left(\lim _{x\to 0}-e^{-x^2}\right)\right)=\pi \left(0-(-1)\right)=\pi$$

于是：

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$$

一道觉得比较神奇的题，把 $e$ 和 $\pi$ 扯上了关系。