P9773 [HUSTFC 2023] 序列配对 题解

传送门

考虑将 $l_i$ 与 $r_i$ 连边，得到的图每个点的度数为 $2$，所以这个图是由若干个环组成的。然后发现每个 $a_i$ 只可能等于 $0$ 或 $2$。

题意，即给每条边定向，使得与其连接的两条边的方向不同的点的个数为 $\frac{k}{4}$。

考虑枚举每个环（记这个环为 $G$）上有多少个方向相同的边的连续段，那么上述点的个数就等于该值，因为这是个环，所以该值一定是偶数。考虑用生成函数优化，令：

$$F(G)=\sum_{i=0}^{|G|/2}{|G|\choose 2i}x^i$$

那么 $[x^{k/8}]\prod_{G} F(G)$ 即为所求（如果 $k$ 不是 $8$ 的倍数就直接输出 $0$）。可以把这些多项式扔到一个堆里，每次取出次数最小的两个用 $\tt NTT$ 合并，时间复杂度 $O(n\log^2 n)$。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int long long
#define mxn 500003
#define md 998244353
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define rept(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
int power(int x,int y){
    int ans=1;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)ans=(ll)ans*x%md;
        x=(ll)x*x%md;
    }
    return ans;
}
struct node{
    vector<int>a;
};
inline bool operator<(node x,node y){
    return x.a.size()>y.a.size();
}
int n,k,c,f[mxn],f1[mxn],rev[mxn];
ll ans=1,fac[mxn],ifac[mxn];
vector<int>g[mxn];
bool v[mxn];
priority_queue<node>q;
void dfs(int x){
    v[x]=1;
    c++;
    for(int i:g[x])if(!v[i]){
        dfs(i);
    }
}
inline ll C(int n,int m){
    return fac[n]*ifac[m]%md*ifac[n-m]%md;
}
void ntt(int *a,int n,int flag){
    rept(i,0,n)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int h=1;h<n;h<<=1){
        int x,y,s=power(3,499122176/h);
        for(int j=0;j<n;j+=h<<1){
            int w=1;
            for(int k=j;k<j+h;++k){
                x=a[k],y=w*a[k+h]%md;
                a[k]=(x+y)%md;
                a[k+h]=(x-y+md)%md;
                w=w*s%md;
            }
        }
    }
    if(flag==-1){
        int p=power(n,md-2);
        reverse(a+1,a+n);
        rept(i,0,n)a[i]=a[i]*p%md;
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    fac[0]=1;
    rep(i,1,n)fac[i]=fac[i-1]*i%md;
    ifac[n]=power(fac[n],md-2);
    drep(i,n,1)ifac[i-1]=ifac[i]*i%md;
    for(int i=0,x,y;i<n;++i){
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        g[x].pb(y),g[y].pb(x);
    }
    scanf("%lld",&k);
    if(k%8||k/4>n){
        puts("0");
        return 0;
    }
    k/=8;
    rep(i,1,n)if(!v[i]){
        c=0;
        dfs(i);
        node s;
        rep(j,0,c)if(!(j&1))s.a.pb(C(c,j));
        q.push(s);
        ans=ans*2%md;
    }
    while(q.size()>1){
        node a=q.top();q.pop();
        node b=q.top();q.pop();
        node c;c.a.resize(a.a.size()+b.a.size()-1);
        int k,s;
        for(k=0,s=1;s<c.a.size();s<<=1,++k);
        rept(i,0,s)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
        rept(i,0,a.a.size())f[i]=a.a[i];
        rept(i,a.a.size(),s)f[i]=0;
        rept(i,0,b.a.size())f1[i]=b.a[i];
        rept(i,b.a.size(),s)f1[i]=0;
        ntt(f,s,1);ntt(f1,s,1);
        rept(i,0,s)f[i]=f[i]*f1[i]%md;
        ntt(f,s,-1);
        rept(i,0,c.a.size())c.a[i]=f[i];
        q.push(c);
    }
    cout<<q.top().a[k]*ans%md;
    return 0;
}