时间复杂度的计算

 

算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问题给各位考生进行分析。

首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。

常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。

下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。

 

1、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。

(1) i=1; k=0

while(i<n)

{ k=k+10*i;i++;

}

解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)， 这个函数是按线性阶递增的。

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(2) x=91; y=100;

while(y>0)

if(x>100)

{x=x-10;y--;}

else x++;

解答： T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们没有看到n，这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。

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2、一个经验规则

有如下复杂度关系

 

c < log2n < n < n*log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

 

其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

 

 

求解算法的时间复杂度的具体步骤是：

 

　　⑴ 找出算法中的基本语句；

 

　　算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

 

　　⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；

 

　　只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

 

　　⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。(注意：时间复杂度大的项会自动覆盖小的项)

 

　　将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

 

　　如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如：

 

　　① for (i=1; i<=n; i++)

　　　　　　x++;

 

　　② for (i=1; i<=n; i++)

　　　 for (j=1; j<=n; j++)

　　　　　　x++;

 

　　第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n^2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n^2)=Ο(n^2)。

 

　　常见的算法时间复杂度由小到大依次为：

 

　　Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n^3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

 

Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n^2)和Ο(n^3)称为多项式时间，而Ο(2^n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，而把后者称为NP问题。

 

这只能基本的计算时间复杂度，具体的运行还会与硬件有关。