堆：剑指 Offer 41. 数据流中的中位数

题目描述：

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。

如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如，

[2,3,4] 的中位数是 3

[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

　　•void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
　　•double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数

限制：

最多会对 addNum、findMedian 进行 50000 次调用。

解题思路：
给定一长度为 N 的无序数组，其中位数的计算方法：首先对数组执行排序（使用 O(NlogN) 时间），然后返回中间元素即可（使用 O(1) 时间）。

针对本题，根据以上思路，可以将数据流保存在一个列表中，并在添加元素时保持数组有序。

此方法的时间复杂度为 O(N) ，其中包括：查找元素插入位置 O(logN) （二分查找）、向数组某位置插入元素 O(N) （插入位置之后的元素都需要向后移动一位）。

借助堆可进一步优化时间复杂度。

建立一个小顶堆 A 和大顶堆 B ，各保存列表的一半元素，且规定：

随后，中位数可仅根据

算法流程：
设元素总数为 N=m+n ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 中的元素个数。

addNum(num) 函数：

1.当 m=n（即 N 为偶数）：需向 A 添加一个元素。实现方法：将新元素 num 插入至 B ，再将 B 堆顶元素插入至 A ；
2.当 m!=n（即 N 为奇数）：需向 B 添加一个元素。实现方法：将新元素 num 插入至 A ，再将 A 堆顶元素插入至 B ；

假设插入数字 num 遇到情况 1. 。由于 num 可能属于 “较小的一半” （即属于 B ），因此不能将 nums 直接插入至 A 。而应先将 num 插入至 B ，再将 BB 堆顶元素插入至 A 。
这样就可以始终保持 A 保存较大一半、 B 保存较小一半。

findMedian() 函数：

1.当 m=n（ N 为偶数）：则中位数为 ( A 的堆顶元素 + B 的堆顶元素 )/2。
2.当 m!=n（ N 为奇数）：则中位数为 A 的堆顶元素。

复杂度分析：
•时间复杂度：
•查找中位数 O(1) ：获取堆顶元素使用 O(1) 时间；
•添加数字 O(logN) ：堆的插入和弹出操作使用 O(logN) 时间。
•空间复杂度 O(N) ：其中 N 为数据流中的元素数量，小顶堆 A 和大顶堆 B 最多同时保存 N 个元素。

class MedianFinder{
    Queue<Integer> A,B;
    public MedianFinder(){
        A = new PriorityQueue<>();// 小顶堆，保存较大的一半
        B = new PriorityQueue<>(Comparator.reverseOrder());// 大顶堆，保存较小的一半
    }
    public void addNum(int num){
        if(A.size()!=B.size()){
            A.add(num);
            B.add(A.poll());
        }else{
            B.add(num);
            A.add(B.poll());
        }
    }
    public double findMedian(){
        return A.size()!=B.size()?A.peek():(A.peek()+B.peek())/2.0;
    }
}