第二课——线段树
上一节课讲了树状数组，也介绍了树状数组的优点与不足，这里简单回顾一下。
优点：树状数组的代码非常简短，易于实现，被刘老师亲切的称为IO选手的"HelloWorld!"，就是因为代码短。
缺点：树状数组的缺点也非常的明显，只能处理单点修改区间查询或者区间修改单点查询的问题（以较高的效率）。而区间修改区间查询的问题没有办法很优雅的解决，于是引出了线段树。
线段树
先来看一个问题：
7-1 张煊的金箍棒（2）
张煊的金箍棒升级了！
升级后的金箍棒是由几根相同长度的金属棒连接而成（最开始都是铜棒，从1到N编号）；
张煊作为金箍棒的主人，可以对金箍棒施以任意的变换，每次变换操作就是将一段连续的金属棒（从X到Y编号）改为铜棒，银棒或金棒。
金箍棒的总价值计算为N个金属棒的价值总和。其中，每个铜棒价值为1；每个银棒价值为2；每个金棒价值为3。
现在，张煊想知道多次执行操作后的金箍棒总价值。
输入格式:
输入的第一行是测试数据的组数（不超过10个）。
对于每组测试数据，第一行包含一个整数N（1 <= N <= 100000），表示金箍棒有N节金属组成，第二行包含一个整数Q（0 <= Q <= 100,000），表示执行变换的操作次数。
接下来的Q行，每行包含三个整数X，Y，Z（1 <= X <= Y <= N，1 <= Z <= 3），它定义了一个操作：将从X到Y编号的金属棒变换为金属种类Z，其中Z = 1代表铜棒，Z = 2代表银棒，Z = 3代表金棒。
输出格式:
对于每组测试数据，请输出一个数字，表示操作后金箍棒的总价值。
每组数据输出一行。
输入样例:
1
10
2
1 5 2
5 9 3
输出样例：
24
可以看到题目中非常明显的区间修改+区间查询的意图，这也是线段树的一道入门题目。接下来我来介绍这个神奇的数据结构。
构成
线段树由一个四倍原数组长的数组组成，对于数组中的元素也有着特殊的含义，但是比起树状数组来说要好理解多了。
首先我们不从数组层面来看这个数据结构，而是从一个二叉树，一棵完全二叉树。假设我们的原数组有8个数。那么线段数和原数组的关系就像这样：
在线段树上的每一个节点表示对应区间的某个属性值，只要这个属性值满足区间的加法即可。
举个例子，这个属性值可以是区间和，可以是区间最值等等，这些具体的属性由题目来决定了，由于属性值的自由度极高，导致线段树在非常多的场合可以用于加速。
见过了线段树的二叉树形状，接下里给线段树一个数组的表示方式。这个也非常的简单：
和《数据结构》中一致，从根节点开始为 1 ，宽度优先搜索的顺序升序标号。有了标号，我们就能用数组来存储这棵二叉树了。可是为什么我们需要四倍的原数组空间呢？
这里我们从长度为5的数组开始，来探讨一下这个问题。
原数组长度为5，那么理论上黑色的节点已经够用了，但是我们使用的静态数组，一般会选择直接把完全二叉树所需的空间开出来，所以会用到最多四倍的空间。
左右子结点的访问
学过《数据结构》的读者可以跳过这块内容。
这部分比较简单，假设根的标志是1，那么左右子结点分别可以用以下两个函数访问：
int left(int d){
return data[d<<1];
}
int right(int d){
return data[d<<1|1]; //等价于 d * 2 + 1
}
稍微解释一下访问右节点的操作，一个二进制数在左移动后最低位一定是0，那么这时候可以用1与该数位或，就能得到乘2加一的效果。
树的初始化
首先定义一下线段树的结构（代码层面）
class SeqTree{
public:
//方法定义
private:
struct Data{
int val;
}data[N<<2];
}seqTree; //线段树类
int arr[N]; //原数组
树的初始化是从原数组构造我们的线段树，以前面提到的题目为例子。节点的属性是区间和。
//arr为原数组、l为区间左边、r为区间右边、rt为线段树上的位置
void build(int*arr,int l,int r,int rt){
if(l==r){ //到了叶子节点，直接赋值
data[rt].val = arr[l-1];
}
int m = (l+r)>>1; //寻找左右子结点的区间边界
build(arr,l,m,rt<<1); //递归构造两边的线段树
build(arr,m+1,r,rt<<1|1);
pushUp(rt); //利用两边的子节点更新当前节点
}
inline void pushUp(int rt){
data[rt].val = data[rt<<1].val + data[rt<<1|1].val;
}
可以发现线段树的构造是非常容易理解的。由于二分的存在它的复杂度也只是O(NlogN)。
单点修改
线段树的修改，相当于修改最下层的某个节点，它会影响到上层的非常多节点，依照树的初始化的想法，我们可以很容易的写出修改代码，这里不提供。
区间查询
首先有一个理论保障：线段树的每次查询不会超过O(logN)的复杂度。为什么呢？
- 任一连续区间至多由\(2log_2^N\)个子区间组成
-
- 原因：任一区间不在线段树同一层出现两个子区间，并且树高不超过\(logN\)
-
-
- 原因的原因：因为区间连续，所以如果在同一层出现了两个子区间，那么这两个子区间一定可以合成上一层的一个区间。
-
所以查询的复杂度有了保障。于是我们来讲查询的思路。
对于一个区间查询\([L,R]\)，我们从根节点[0,4N]出发，进行二分查找，并把符合要求的区间上的节点都进行修改。Idea is pool show me the code!
//区间查询[R,L]
int query(int R,int L,int r,int l,int rt){
if(R>l||L<r)return 0;
if(R<=r&&L>=l)return data[rt].val;
int m = (l+r)>>1;
return query(R,L,r,m,rt<<1)+query(R,L,m+1,l,rt<<1|1);
}
是不是超级简单？哈哈，刘老师说：“当年我们没有人教，没有题目刷的时候，学会了线段树就开始大杀四方，当时觉得是很稀奇的东西。你们今天倒好，随便就能学到如此有意思的算法。”
区间修改
这个就厉害了，不仅实现了区间修改，还引入了最高效的偷懒方式——lazy
思路是这样的：我们修改一个区间的时候，如果要把值给到每个受影响的节点，会非常的麻烦，并且涉及到多次修改时，程序的复杂度会较高。但是仔细想想，我们线段树上的节点不是能代表属性么，那是不是也可以记录修改的属性呢？于是lazy诞生了。
修改一个区间的时候，我们不修改对应的叶子节点，而是在最上层的区间节点上记录本次修改，并在查询的时候应用。
我们首先修改一下数据结构体：
class SeqTree{
public:
//方法定义
private:
struct Data{
int val;
int lazy; //lazy标志
}data[N<<2];
}seqTree; //线段树类
int arr[N]; //原数组
然后重写之前的各个方法：
void build(int*arr,int l,int r,int rt){
if(l==r){
data[rt].val = arr[l-1];
}
int m = (l+r)>>1;
data[rt].lazy = 0; //给lazy初始化值
build(arr,l,m,rt<<1);
build(arr,m+1,r,rt<<1|1);
pushUp(rt);
}
//区间查询[R,L]
int query(int R,int L,int r,int l,int rt){
if(R>l||L<r)return 0;
if(R<=r&&L>=l)return data[rt].val;
int m = (l+r)>>1;
pushDown(rt,m-r+1,l-m); //新加了一个应用lazy的函数
return query(R,L,r,m,rt<<1)+query(R,L,m+1,l,rt<<1|1);
}
//区间修改把[R,L]修改为C
void update(int R,int L,int C,int r,int l,int rt){
if(R>l||L<r){
return;
}
if(R<=r&&L>=l){
data[rt].val=C*(l-r+1); //更新节点值
if(r<l)
data[rt].lazy=C; //查询到此，继承lazy值
return;
}
int m = (l+r)>>1;
pushDown(rt,m-r+1,l-m); //应用lazy
update(R,L,C,r,m,rt<<1);
update(R,L,C,m+1,l,rt<<1|1);
pushUp(rt); //这里有一个细节，应用lazy要在向上计算value之前
}
下面是应用lazy的函数的实现：
inline void pushDown(int rt,int rn,int ln){
if(data[rt].lazy){
data[rt<<1].val=data[rt].lazy*rn;
data[rt<<1].lazy=data[rt].lazy;
data[rt<<1|1].val=data[rt].lazy*ln;
data[rt<<1|1].lazy=data[rt].lazy;
data[rt].lazy=0;
}
}
到这里就讲完了，线段树我似乎没有进行多少理论的分析，大部分都是show you the code.但是线段树是一个抽象的，强大的优化工具，而不是一个算法。想要理解线段树，还需要自己去编码实现。这里提供完整的程序代码供你参考。
点击查看代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <string.h>
using namespace std;
#define N 100000
class SeqTree{
public:
inline void clear(int size){
memset(data,0,sizeof(Data)*(size<<2));
for(int i=1;i<=(size<<2);i++){
data[i].val = 1;
}
}
inline void pushUp(int rt){
data[rt].val = data[rt<<1].val + data[rt<<1|1].val;
}
inline void pushDown(int rt,int rn,int ln){
if(data[rt].lazy){
data[rt<<1].val=data[rt].lazy*rn;
data[rt<<1].lazy=data[rt].lazy;
data[rt<<1|1].val=data[rt].lazy*ln;
data[rt<<1|1].lazy=data[rt].lazy;
data[rt].lazy=0;
}
}
void build(int*arr,int l,int r,int rt){
if(l==r){
data[rt].val = arr[l-1];
}
int m = (l+r)>>1;
data[rt].lazy = 0;
build(arr,l,m,rt<<1);
build(arr,m+1,r,rt<<1|1);
pushUp(rt);
}
//区间查询[R,L]
int query(int R,int L,int r,int l,int rt){
if(R>l||L<r)return 0;
if(R<=r&&L>=l)return data[rt].val;
int m = (l+r)>>1;
pushDown(rt,m-r+1,l-m);
return query(R,L,r,m,rt<<1)+query(R,L,m+1,l,rt<<1|1);
}
void update(int R,int L,int C,int r,int l,int rt){
if(R>l||L<r){
return;
}
if(R<=r&&L>=l){
data[rt].val=C*(l-r+1);
if(r<l)
data[rt].lazy=C;
return;
}
int m = (l+r)>>1;
pushDown(rt,m-r+1,l-m);
update(R,L,C,r,m,rt<<1);
update(R,L,C,m+1,l,rt<<1|1);
pushUp(rt);
}
void debug(int size){
cout<<"############## debug ##############\n";
for(int i=1;i<=(size<<2);i++){
cout<<data[i].val<<" "<<data[i].lazy<<"\n";
}
cout<<"############## debug ##############\n";
}
private:
struct Data{
int val;
int lazy;
}data[N<<2];
}seqTree;
int main(){
int b,n,q;
cin>>b;
while(b--){
cin>>n>>q;
seqTree.clear(n);
int x,y,z;
for(int i=0;i<q;i++){
cin>>x>>y>>z;
seqTree.update(x,y,z,1,n,1);
}
cout<<seqTree.query(1,n,1,n,1)<<"\n";
// seqTree.debug(n);
}
}
好好领悟线段树的节点属性吧。
本文来自博客园，作者：zhywyt，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/zhywyt/p/18091071
