计算机图形学笔记二——圆形、圆弧段的绘制算法

圆形的绘制

绘制圆形,我们要利用好圆形的对称性,我们可以通过绘制\(\frac{1}{8}\)圆,然后进行一些变换完成整个圆的绘制。
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中点画圆法

和中点画线法相似,首先构造圆的隐式方程:

\[F(x,y)=x^2+y^2-R^2 \]

在圆上的点是0,在圆外面的是F(x,y)>0,在圆里面的是F(x,y)<0,我们绘制第一卦象的\(\frac{1}{8}\)个圆[\(\frac{\pi}{2}\),\(\frac{\pi}{4}\)](往x轴正方向迭代),构造判别式:

\[d=F(M)=F(x_i+1,y_i-0.5)=(x_i+1)^2+y_i-0.5)^2-R^2 \]

当d$>=$0时,最佳逼近点取 \((x_i+1,y_i-1)\)

\[d_1=F(M)=F(x_i+2,y_i-1.5)=d+2(x_i+y_i)+5 \]

当d$<$0,最佳逼近点取 \((x_i,y_i)\)

\[d_1=F(M)=F(x_i+2,y_i-0.5)=d+2x_i+3 \]

(这里书上似乎写错了,书中写成了\(F(x_i+2,y_i-1.5)\),在此予以纠正。)
得到迭代公式,我们可以写出这样的代码:这份代码与书中的有所不同,书中的代码没有使用数组来存储循环的部分。

void Mid_Circle(int Rx, int Ry, int R) {
	glBegin(GL_POINTS);
	int x, y, d;
	x = 0, y = R;
	d = 5 - 4 * R;
	int dir[4][2] = {
	{ 1, 1 }, { 1,-1 },
	{ -1,1}, {-1,-1 }
	};		//使用循环来计算对称的区域
	for (int i = 0; i < 2; i++) {//这里x=0所以只需要循环2次就行了。
		glVertex2i(Rx + x * dir[i][0], Ry + y * dir[i][1]);
		glVertex2i(Rx + y * dir[i][0], Ry + x * dir[i][1]);
	}
	while (x <= y) {
		if (d >= 0) {
			x += 1;
			y -= 1;
			d += 8 * (x - y) + 20;
		}
		else {
			x += 1;
			d += 8 * x + 12;
		}
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			glVertex2i(Rx + x * dir[i][0], Ry + y * dir[i][1]);
			glVertex2i(Rx + y * dir[i][0], Ry + x * dir[i][1]);
		}
	}
	glFlush();
	glEnd();
}

Bresenham画圆算法

和画线算法很相似,也是通过计算残差来进行近似,只是迭代方程有所不同,我们直接开始推导:
设当前最佳逼近点为 \((x_i,y_i)\),那么下一个最佳逼近点为\((x_i+1,y_i)\)或者 \((x_i+1,y_i-1)\),残差分别为:

\[d_1=y_i^2-y^2=y_i^2-(R^2-(x_i+1)^2) \]

\[d_2=y^2-(y_i-1)^2=R^2-(x_i+1)^2-(y_i-1)^2 \]

\[p_i=d_1-d_2=2(x_i+1)^2+y_i^2-(y_i-1)^2-2R^2 \]

\(p_i>0\)则取 \((x_i+1,y_i-1)\)作为取样点,得到迭代方程:

\[p_{i+1}=p_i+4(x_i-y_i)+10 \]

\((p_i<=0)\)则取点 \((x_i+1,y_i)\)作为最佳取样点,得到迭代方程:

\[p_{i+1}=p_i+4x_i+6 \]

在点 \((0,R)\)可以得到判别式:

\[p_0=3-2R \]

我们可以写出这样的代码

void BRESENHAM_Circle(int Rx, int Ry, int R) {
	glBegin(GL_POINTS);
	int x, y;
	x = 0, y = R;
	int d = 3 - 2 * R;
	int dir[4][2] = {
	{ 1, 1 }, { 1,-1 },
	{ -1,1}, {-1,-1 }
	};		//使用循环来计算对称的区域
	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		glVertex2i(Rx, Ry + y*dir[i][1]);
		glVertex2i(Rx + y * dir[i][0], Ry);
	}
	while (x < y) {
		if (d >= 0) {
			x += 1;
			y -= 1;
			d += 4*(x - y) + 10;
		}
		else {
			x += 1;
			d += 4 * x + 6;
		}
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			glVertex2i(Rx + x * dir[i][0], Ry + y * dir[i][1]);
			glVertex2i(Rx + y * dir[i][0], Ry + x * dir[i][1]);
		}
	}
	glFlush();
	glEnd();
}

辅助画圆函数

再为两个算法重载两个使用两个点作为参数的画圆函数,来丰富画圆的方式:

void Mid_Circle(int Rx, int Ry, int endx, int endy) {
	int distance = static_cast<int>(sqrt((endx - Rx) * (endx - Rx) + (endy - Ry) * (endy - Ry)));
	Mid_Circle(Rx, Ry, distance);
}
void BRESENHAM_Circle(int Rx, int Ry, int endx, int endy) {
	int distance = static_cast<int>(sqrt((endx - Rx) * (endx - Rx) + (endy - Ry) * (endy - Ry)));
	BRESENHAM_Circle(Rx, Ry, distance);
}

圆弧段扫描算法

完成了画圆的扫描算法,接下来学习的是圆弧的扫描算法,为了方便绘制,规定:画的圆弧是起始点在圆上沿顺时针行走得到。
先来对坐标轴进行分区:
image
我们只绘制0区域的这 \(\frac{1}{8}\)段圆弧,然后通过对称来绘制其他的区域。因为我们需要绘制的不再是所有的区域,所以我们需要对区域的位置进行辨别,当然,使用的位置是相对于圆心的位置。写一个函数来返回我们需要的区域id:

FIndIndexOfArc
GLint FIndIndexOfArc(GLint x, GLint y) {
	if (x > 0 && y >= 0) {
		if (x < y)return 0;
		else return 1;
	}
	else if (x >= 0&&y<0) {
		if (x > -y)return 2;
		else return 3;
	}
	else if (x < 0 && y <=0) {
		if (x > y)return 4;
		else return 5;
	}
	else {
		if (-x > y)return 6;
		else return 7;
	}
}

然后根据区域id我们计算需要的变换矩阵这里的变化是对称,不是旋转那么就会面临一个问题——起始段的绘制和结尾段的绘制会有所不同,这个体现在分段处理函数DrawCircleArc中:

GetMatrixT
void GetMatrixT(GLint T[2][2], GLint index) {
	int i = index % 8;
	if (i == 0) {
		T[0][0] = 1, T[0][1] = 0,
			T[1][0] = 0, T[1][1] = 1;
	}
	else if (i == 1) {
		T[0][0] = 0, T[0][1] = 1,
			T[1][0] = 1, T[1][1] = 0;
	}
	else if (i == 2) {
		T[0][0] = 0, T[0][1] = 1,
			T[1][0] = -1, T[1][1] = 0;
	}
	else if (i == 3) {
		T[0][0] = 1, T[0][1] = 0,
			T[1][0] = 0, T[1][1] = -1;
	}
	else if (i == 4) {
		T[0][0] = -1, T[0][1] = 0,
			T[1][0] = 0, T[1][1] = -1;
	}
	else if (i == 5) {
		T[0][0] = 0, T[0][1] = -1,
			T[1][0] = -1, T[1][1] = 0;
	}
	else if (i == 6) {
		T[0][0] = 0, T[0][1] = -1,
			T[1][0] = 1, T[1][1] = 0;
	}
	else if (i == 7) {
		T[0][0] = -1, T[0][1] = 0,
			T[1][0] = 0, T[1][1] = 1;
	}
}

拿到两个点之后,我们首先获得他们的区域id,然后判断开始点的id是否小于结束点,如果大于,那么将结束点的id+8,也就是保证开始点的id小于结束点的id。再使用id去获取变换矩阵的时候,我们也要对id进行取模操作。假设我们得到的开始区间的id是a,结束区间的id是b,那么我们可以保证使用的两个id有着(\(a<b\))的关系。我们按照这个关系进行绘制,从a区域开始,绘制到b区域,特殊处理开始的区域和结束的区域。同时特殊处理开始和结束在同一个区域的情况。

/*分段处理的函数*/
/************************/
//ins和ine是开始和结束的id
if (ins == ine){
//绘制在同一个区域的圆弧
...
}
else{
//1.起始段画圆弧
...
//2.中间画弧段
...
//3.终止点画弧段
...
}

我们再写一个可以进行矩阵乘法和矩阵求逆的函数(我个人觉得这很浪费时间,但是这里还是这么写了。)

void GetTtoPt(GLint T[2][2], GLint sx, GLint sy, GLint& retx, GLint& rety, bool mode) {
	if (mode) {		//求逆
		//主对角线互换除以行列式,副对角线乘-1,除以行列式
		GLint T1[2][2], temp;
		T1[0][0]=T[1][1];
		T1[1][1] = T[0][0];
		T1[1][0] = T[1][0]*-1 ;
		T1[0][1] = T[0][1]*-1;
		temp = T[0][0] * T[1][1] - T[1][0] * T[0][1];
		retx = (sx * T1[0][0] + sy * T1[0][1])/temp;
		rety = (sx * T1[1][0] + sy * T1[1][1])/temp;
	}
	else {
		retx = (sx * T[0][0] + sy * T[0][1]) ;
		rety = (sx * T[1][0] + sy * T[1][1]) ;
	}
}

然后是进行弧段绘制的函数,在绘制任意区域内的一点圆弧时,我们先把目标点的坐标通过乘上变换矩阵的逆矩阵来得到第0区域中对应的点。把目标点绘制之后,在变换到对应的区域。

SetArc
//绘制弧段
/**************/
void SetArc(GLint Rx, GLint Ry, GLint R, GLint ArcType, GLint T[2][2], GLint startx, GLint starty, GLint endx, GLint endy){
	GLint x, y, d;
	GLint p0x, p0y, p1x, p1y;
	glBegin(GL_POINTS);
	//ArcType解释:
	//0 画1/8圆  是连续段的中部
	//1 画0到start圆 是奇数段的开始 偶数段的结束
	//2 画start到1/8x圆  是偶数段的开始 奇数段的结束
	//3 画start到end圆   是连续段的全部
	if (ArcType == 0 || ArcType == 1) {
		x = 0;
		y = R;
		d = 5 - 4 * R;
		glColor3f(1.0, 0, 0);
	}
	else {
		glColor3f(0, 1.0, 0);
		x = startx;
		y = starty;
		d = 8 * x - 4 * y + 5;
	}
	p0x = x, p0y = y;
	//投影到第0区域
	GetTtoPt(T, p0x,p0y, p1x,p1y);
	glVertex2i(Rx + p1x, Ry - p1y);
	while (1) {
		if (ArcType == 0 || ArcType == 2) {		//生成到镜像线八分之一处。
			if (x > y)break;
		}
		else if(ArcType==1){		//生成(0,R)到start的圆弧
			glColor3f(0, 1.0, 0);
			if (x > startx)break;
		}
		else if (ArcType == 3) {						//生成到end的圆弧
			glColor3f(0, 0, 1.0);
			if (x > endx)break;
		}
		//中点画圆法
		if (d >= 0) {
			x += 1, y -= 1;
			d += 8 * (x - y) + 20;
		}
		else {
			x += 1;
			d += 8 * x + 12;
		}
		p0x = x;
		p0y = y;
		//从第0区域回到绘制区域
		GetTtoPt(T, p0x, p0y, p1x, p1y);
		glVertex2i(Rx + p1x, Ry - p1y);
	}
	glColor3f(1.0, 0, 0);
	glFlush();
	glEnd();
}

最后补充分段处理的函数和它的辅助绘制函数,注意,因为glut中的坐标默认是y轴朝下,所以在绘制的时候可以进行反转y轴的方式来进行纠正。

DrawCircleArc
void DrawCircleArc(GLint Rx,GLint Ry,GLint R,GLint startx,GLint starty,GLint endx,GLint endy) {
	//圆心移动到原点,并把y轴反转
	GLint sx = startx-Rx, sy = Ry-starty, ex = endx-Rx, ey = Ry-endy;
	//第一步查找两个端点所在区域编号
	GLint T[2][2], T1[2][2];
	GLint pt0x=0, pt0y=0, pt1x=0, pt1y=0;
	//找到对应的区间编号(使用移动后的坐标)
	GLint ins = FIndIndexOfArc(sx, sy);
	GLint ine = FIndIndexOfArc(ex, ey);
	//保证结束区域的值大于开始区域,最后使用index%8得到计算区域
	if (ine < ins)ine += 8;
	if (ins == ine) {//同一个区域
		//首先镜像到0号区域,然后镜像到对应的区域
		GetMatrixT(T, ins);				//获得0区域的镜像矩阵
		GetTtoPt(T, sx, sy, pt0x, pt0y, GL_TRUE);
		GetTtoPt(T, ex, ey, pt1x, pt1y, GL_TRUE);
		if (pt0x < pt1x) {//保证了startx <= endx
			SetArc(Rx, Ry, R, 3, T, pt0x, pt0y, pt1x, pt1y);			//画弧线上的一段,从pt0到pt1
		}
		else {
			SetArc(Rx, Ry, R, 3, T, pt1x, pt1y, pt0x, pt0y);
		}
	}
	else {
		//1.起始段画圆弧
		GetMatrixT(T, ins);
		GetTtoPt(T, sx, sy, pt0x, pt0y, GL_TRUE);
		if (!(ins % 2)) {
			SetArc(Rx, Ry, R, 2, T, pt0x, pt0y);			//画弧线上的一段,从(0 ,R )到pt1
		}
		else {
			SetArc(Rx, Ry, R, 1, T, pt0x, pt0y);
		}
		//2.中间画弧段
		for (int i = ins + 1; i < ine; i++) {
			GetMatrixT(T1, i);
			SetArc(Rx, Ry, R, 0, T1);			//画整段弧线
		}
		//3.终止点画弧段
		GetMatrixT(T, ine);
		GetTtoPt(T, ex, ey, pt1x, pt1y, GL_TRUE);
		if (!(ine % 2)) {
			SetArc(Rx, Ry, R, 1, T, pt1x, pt1y);			//画弧线上的一段,从(0 ,R )到pt1
		}
		else {
			SetArc(Rx, Ry, R, 2, T, pt1x, pt1y);
		}
	}
}
//辅助绘制函数
void DrawCircleArc(GLint P1x, GLint P1y, GLint P2x, GLint P2y, GLint P3x, GLint P3y) {
	GLint x, y, radius;
	x = P1x, y = P1y;
	radius = static_cast<GLint>(sqrt((P1x - P2x) * (P1x - P2x) + (P1y - P2y) * (P1y - P2y)));
	double distance = sqrt((P3x - P1x) * (P3x - P1x) + (P3y - P1y) * (P3y - P1y));
	P3x = static_cast<GLint>(((P3x - P1x) * radius)/ distance + P1x);
	P3y = static_cast<GLint>(((P3y - P1y) * radius)/ distance + P1y);

	DrawCircleArc(x, y, radius, P2x, P2y, P3x, P3y);
}

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posted @ 2023-04-21 20:42  zhywyt  阅读(836)  评论(0编辑  收藏  举报