康托展开

名词解释:

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。
---康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

原理介绍

$X = a_{n} (n - 1)! + a_{n - 1} (n - 2)! + . . . + a_{1} \times 0!$
其中, $a_{i}$ 为整数,并且 $0 \leq a_{i} < i, 1 \leq i \leq n$ 。
表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个
康托展开的逆运算
既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。
如n=5,x=96时：
首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321。
按以上方法可以得出通用的算法。{^1}

康托展开

再举个例子说明。
在{ $1, 2, 3, 4, 5$ }5个数的排列组合中，计算 $34152$ 的康托展开值。
首位是 $3$ ，则小于 $3$ 的数有两个，为 $1$ 和 $2$ ， $a [5] = 2$ ，则首位小于3的所有排列组合为 $a [5] \times (5 - 1)!$
第二位是4，由于第一位小于 $4$ ,{ $1, 2, 3$ }中一定会有 $1$ 个充当第一位，所以排在 $4$ 之下的只剩 $2$ 个，所以其实计算的是在第二位之后小于 $4$ 的个数。因此 $a [4] = 2$ 。
第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以 $a [3] = 0$ 。
第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以 $a [2] = 1$ 。
最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以 $a [1]$ 固定为0
根据公式：

X = 2 \times 4! + 2 \times 3! + 0 \times 2! + 1 \times 1! + 0 \times 0! = 61

所以比34152小的组合有61个，即34152是排第62。

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
const int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};//阶乘0-10
int cantor(int a[],int n){//cantor展开,n表示是n位的全排列，a[]表示全排列的数（用数组表示）
    int ans=0,sum=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]<a[i])
                sum++;
        ans+=sum*factorial[n-i];//累积
        sum=0;//计数器归零
    }
    return ans+1;
}
int main(){
    int sb[12],gs;
    cin>>gs;
    for(int i=1;i<=gs;i++)
        cin>>sb[i];
    cout<<cantor(sb,gs);//输出该集合在全排列所在位置 
    return 0;
}

康托逆展开

一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在给出61可以算出起排列组合为34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来.

代码实现

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 阶乘
//康托展开逆运算
void decantor(int x, int n)
{
    vector<int> v;  // 存放当前可选数
    vector<int> a;  // 所求排列组合
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int r = x % FAC[i-1];
        int t = x / FAC[i-1];
        x = r;
        sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
        a.push_back(v[t]);      // 剩余数里第t+1个数为当前位
        v.erase(v.begin()+t);   // 移除选做当前位的数
    }
}

就到这里啦!