P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数——快速幂

[NOIP2003 普及组] 麦森数

题目描述

形如 $2^{P} - 1$ 的素数称为麦森数，这时 $P$ 一定也是个素数。但反过来不一定，即如果 $P$ 是个素数， $2^{P} - 1$ 不一定也是素数。到 1998 年底，人们已找到了 37 个麦森数。最大的一个是 $P = 3021377$ ，它有 909526 位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：输入 $P (1000 < P < 3100000)$ ，计算 $2^{P} - 1$ 的位数和最后 $500$ 位数字（用十进制高精度数表示）

输入格式

文件中只包含一个整数 $P (1000 < P < 3100000)$

输出格式

第一行：十进制高精度数 $2^{P} - 1$ 的位数。

第 $2 \sim 11$ 行：十进制高精度数 $2^{P} - 1$ 的最后 $500$ 位数字。（每行输出 $50$ 位，共输出 $10$ 行，不足 $500$ 位时高位补 $0$ ）

不必验证 $2^{P} - 1$ 与 $P$ 是否为素数。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第四题

快速幂

这题算是我自己第一次使用快速幂吧，感觉对快速幂还是有一种恐惧感，所以来总结一下所学。
首先是一个已经很熟悉的快速幂模板

while(n){
  if(n%2==1)multi1();
  n/=2;
  multi2();
}

其中的multi1和multi2分别对应乘底数和自乘。
至于高精度的一个乘法就可以使用数组快速实现，再次编写代码以提升自己的熟练程度

using namespace std;
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
int ans[510], res[510], sav[510];//分别对应答案，底数和缓存数组
void multi1();
void multi2();
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    ans[1] = 1, res[1] = 2;
    cout << (int)(n * log10(2) + 1);
    while (n) {
        if (n % 2 == 1)multi1();
        n /= 2;
        multi2();
    }
    ans[1]--;
    for (int i = 500; i >= 1; i--) {
        if (!(i % 50))cout << endl;
        cout << ans[i];
    }
}
void multi1() {
    memset(sav, 0, sizeof(sav));
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
        for (int j = 1; j <= 500; j++)
            if (i + j - 1 <= 500)sav[i + j - 1] += ans[i] * res[j];//答案乘以底数
            else break;
    for (int i = 1; i <= 500; i++) {
        sav[i + 1] += sav[i] / 10;
        sav[i] %= 10; //进位
    }
    memcpy(ans, sav, sizeof(sav));//把sav中大小为sizeof(sav)的值复制给ans。
}
void multi2() {
    memset(sav, 0, sizeof(sav));
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
        for (int j = 1; j <= 500; j++)
            if (i + j - 1 <= 500)sav[i + j - 1] += res[i] * res[j];//底数自乘
            else break;
    for (int i = 1; i <= 500; i++) {
        sav[i + 1] += sav[i] / 10;
        sav[i] %= 10;
    }
    memcpy(res, sav, sizeof(sav));
}