初赛问题求解及选择题数学相关整理

1 集合与逻辑

\((1)\quad\)逻辑运算

或\(V\)，与\(A\)（这边打不出来\(\and\)），异或\(\oplus\)。

\((2)\quad\)集合运算

\(\forall i \in A\)或\(i\in B\)，\(i\in A\cup B\)

\(\forall i \in A,B\)，\(i \in A\cap B\)

2 组合数学

\((1)\quad\)基础知识

排列：\(n\)个数中取\(m\)个的排列。

\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合：\(n\)个数中取\(m\)个的组合。

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

\((2)\quad\)常见模型

可重复组合：\(n\)个数中可重复的取\(m\)个。

\[H_n^m = C_{n + m - 1}^m = \frac{(n + m - 1)!}{m!(n-1)!} \]

第二类斯特林数：\(n\)个元素划分成\(m\)个集合。

\[\left\{\begin{array}{} n \\ m \\ \end{array}\right\} = S(n,m) \]

\[S(n,m) = m\cdot S(n - 1,m) + S(n - 1, m - 1) \]

特别的：

\[S(n,n) = 1,\ S(n,0) = 0 \]

集合不同的斯特林数：\(n\)个元素，划分到\(m\)个不同的集合\(m!\cdot S(n,m)\)

错排：\(n\)个数的排列，其中\(n\)不在位置\(n\)上。

\[D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}) \]

卡特兰数：\(1,2,5,14,42,132,429,1430,\dots\)

\[c(n) = \frac{C_{2n}^n}{n + 1} \]

斐波那契数列：

\[f(i) = f(i - 1) + f(i - 2) \]

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x - 1)}{f(x)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \]

集合计数：

\[\sum_{i = 1}^n C_n^i = 2^n - 1 \]

3 渐进式

\((1)\quad\)符号

大\(O\)符号：上界。

大\(\Theta\)符号：紧的。

大\(\Omega\)符号：下界。

\((2)\quad\) 主定理

对于递推式\(T(n) = a\cdot T(\frac{n}{b}) + f(n)\)

若\(f(n)<n^{\log_b a}\)，\(T(n) = \Theta(n^{log_b a})\)

若\(f(n) = n^{log_b a}\)，\(T(n) = \Theta(n^{\log_b a}\log n)\)

否则，\(T(n) = \Theta\left(f(n)\right)\)

4 图论

\((1)\quad\)平面图

对于一个平面图，其最大边数为\(3\cdot |V| - 6\)。

\(s-t\)平面图的对偶图的最短路即为该平面图的最小割，最大流。

\((2)\quad\)二分图

一个图是二分图当且仅当该图不含奇数条边构成的环。

一个二分图若有\(A\)类点\(x\)个，\(B\)类点\(y\)个，则边数最多为\(xy\)。

二分图最大匹配等于该二分图的最小顶点覆盖。

最大独立集\(=|V|-\)最小顶点覆盖。