【旧博客搬运+修改】整除分块学习笔记

整除分块学习笔记

Luogu P2261 [CQOI2007]余数求和

题目：

给定\(n, k\)（\(n,k\leq 10^9\)），求$$\sum_{i=1}^n k\bmod i$$

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分析：

\[\sum_{i=1}^n k\bmod i \]

由取模意义可得：

\[=\sum_{i=1}^n k-i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \]

\[=nk-\sum_{i=1}^n i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \]

我们只需要求 \(\sum_{i=1}^n i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\) 就可以了.

分析样例：

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\)	5	2	1	1	1	0	0	0	0	0

发现\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\)取值很少（在\(2\sqrt{k}\)左右）：

证明: 对于所有 \(i\le \sqrt{k}\), 最多 \(\sqrt{k}\) 个取值, 对于 \(i\ge \sqrt k\), \(\left\lfloor \frac{k}{i} \right\rfloor \le \sqrt{k}\), 故也只有 \(\sqrt{k}\) 个取值, 总共有 \(2\sqrt k\) 个取值.

我们需要找到一个区间\([l,r]\)，满足

\[\forall x,y\in[l,r],\ \left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{k}{y}\right\rfloor \]

那么，若已知区间左端点\(l\)，如何求出\(r\)?

设\(p=\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\)，即所有\(x\in[l,r]\)的\(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)的值

要求区间的右端点，即使\(x\)最大并且满足：

\[\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor=p \]

由向下取整定义可得

\[\frac{k}{x}\geq p \]

\[\because x>0 \]

\[\therefore k\geq px \]

\[x\leq \frac{k}{p} \]

由\(x\)取最大正整数（区间右端点）可得：

\[x=\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor \]

所以区间右端点：$$r=\left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor}\right\rfloor$$

回到开始的式子，我们已经求出了区间，对于区间内的答案，为：

\[\sum_{i=l}^r i\times \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \]

因为区间内的\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\)相同，所以可以直接取\(\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor\)

\[\sum_{i=l}^r i\times \left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor \]

\[=\frac{(l+r)(r-l+1)}{2}\times\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor \]

最后的答案即为\(nk\)减去所有区间答案的和

（注意：若\(\left\lfloor\frac{k}{l}\right\rfloor=0\)，则区间为\([l,\infty]\)，实现时设置成\(n\)即可，运算中出现\(r>n\)也需要设置\(r=n\)）

若还有不理解，参考代码：

(早期代码太丑了)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll ans = 0, l = 1, r = 0, n, k;

int main() {
    cin >> n >> k;
    while(r < n) {
        r = (k / l ? min(k / (k / l), n) : n);
        ans += (l + r) * (r - l + 1) / 2 * (k / l);
        l = r + 1;
    }
    cout << n * k - ans << endl;
    return 0;
}

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练习：

给定\(n, m, k\)（\(n, m, k\leq 10^{12}\)），求$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}m \left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \left\lfloor\frac{k}{j}\right\rfloor$$

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后记：

upd: 终于整理完了所有证明, 我好菜啊.

发现没有多少个题解（也有可能是我没看到）完整的解释了右边界\(r\)的来历，于是花了一个下午（没办法我太弱了\(qwq\)）来写出完整过程，过程会有点啰嗦，\(\rm dalao\)不要介意。