【笔记】构造题

听说多做构造题长脑子，至少能让我从机械性的考试里清醒一点吧

递归子问题

剔除问题边缘

例题 🔗，容易想到排序，接下来要考虑最大最小值（即所谓问题边缘）的特征，剔除之，递归子问题。

奇偶性划分

例题 🔗

给定一个数组 $A$，判断能否将 $A$ 进行重新排序得到 $B$，使得 $B$ 不存在三个位置，其形成等差；给出一个解。

首先，猜想对于任意 $n$，序列 $1,2,...,n$ 有解，打表能验证；既然有解，那么其中取一些数字肯定也有解，只要每个数字出现次数不超过 2
其次，对序列 $n$，怎么构造呢？对于一个等差数列，考虑奇偶位置，分成 $135\dotsb|246\dotsb$，对于左右两半部分，不存在一边取2个一边取1个构成答案的情况，然后递归两边的子问题。

Exactly Equal $k$

构造某个序列/树/图之类，其某个特征值恰等于某个数字 $k$。

二进制拆分

可以考虑从 $k$ 的二进制拆分下手，看看能不能构造出每个幂，以及怎么组合。
例题 🔗

构造一个 $1,2,...,𝑛$ 的排列，使其恰好有 $𝑚$ 个不同的最长上升子序列。$𝑚≤10^9$，要求 $𝑛≤100$。

题解：记 $𝑚$ 的二进制表示为 $𝑏_𝑘 𝑏_{𝑘−1}...𝑏_0$，其中 $𝑏_𝑘=1，𝑏_𝑖∈{0,1}$。
先做出最高位，构造 $2,1,4,3,6,5,...,2𝑘,2𝑘−1$，然后低到高依次考虑 $𝑚$ 的二进制位。
如果 $𝑏_𝑖=1$，就在第 $2𝑖$ 个数之后插入一个大于 $2𝑘$ 的数字 $𝑝_𝑖$，适当取值使得这些 $𝑝_𝑖$ 是递增的。
这样原序列的 LIS 长度会是 $𝑘+1$，包含 $𝑝_𝑖 (𝑖<𝑘)$ 的上升序列长度可能不够。
只需要紧接着每个 $𝑝_𝑖 (𝑖<𝑘)$ 再插入一些递增的数字，并重新调整每个 $𝑝_𝑖$ 的取值即可。容易发现 $𝑝_𝑖 (𝑖<𝑘)$ 后边需要插入的数字个数就是 $𝑚$ 的二进制表示下第 𝑖 位往上连续 0 的个数。
这样构造出来的排列长度不超过 $3⌊\log_2⁡𝑚⌋+1$。

m = 19 = 1+2+16
  2 1          4 3    6 5    8 7
9 2 1 10       4 3    6 5    8 7 11
9 2 1 10 11 12 4 3    6 5    8 7 13

网格图

二分图

不只是单纯的行和列作为节点，可以考虑相邻点对 $\{(x,y), (x,y+1)\}, \{(x,y), (x+1,y)\}$，也就是以边为点（并赋值为点对的某种运算，比如固定方向做差）
此外，可以考虑能否找到这些行列各自的相同特征，将二分图进一步简化
例题 🔗，对于类似环的结构，可以考虑模意义做差，或许能提供更普适的特征