【笔记】近世代数 - 群的同态基本定理

近世代数学的那些东西，感觉挺有意思，说不定以后有点用
这里非常挑剔（懒）地选了一小部分

群

非空集合 G
定义在 G 上的一个二元代数运算 ∘ 是一个映射 G×G→G
称 G 对它的乘法运算 ∘ 构成一个群 (group)，当且仅当：

  1. ∘ 满足结合律（从而是半群）
  2. 存在单位元 e（从而是幺半群）
  3. G 中任意元素都存在逆元

记作群 (G,∘)

子群

群 G 的非空子集 S 称为 G 的子群，若 S 对 ∘ 也构成一个群，又即 S 对 ∘ 封闭，又即 SS=S

子群陪集

设 H 是群 G 的子群，a 为 G 任一元素
集合 aH 称为子群 H 的一个左陪集（同理有右陪集，两者定理相同）
Th1. aH=H⟺a∈H
Th2. aH=bH⟺a−1b∈H
Th3. ∀a,b∈G,aH=bH or aH∩bH=∅
Th4. ∀a,b∈G,|aH|=|bH|
可见可以根据子群 H 的陪集对 G 做一个划分
根据这个对 G 的划分，可以定义等价关系 ≅：
a≅b⟺aH=bH⟺ab−1∈H
Th5. 拉格朗日，Lagrange
有限群 G 的阶为 N，H 是 G 的一个 n 阶子群，则：N=n⋅[G:H]
[G:H] 称为 H 在 G 中的指数，等于 H 的所有不同的左陪集的个数
推论：有限群每个元素的阶都能整除该有限群的阶；有限群的阶是质数→其为循环群

正规子群

设 H 是群 G 的子群，称 H 为 G 的正规子群，若
∀a∈G,aH=Ha
Th6. 正规子群 H 的所有左陪集构成集族 Sl 对群子集乘法构成一个群
群子集乘法：AB={a∘b|a∈A,b∈B}
商群：正规子群 H 的所有左陪集构成集族 Sl 对群子集乘法构成的群，记为 G/H
上述定义得到的等价关系 ≅，此时也是同余关系
同余关系：a≅a′,b≅b′⟹a∘b=a′∘b′，又即“对乘法不变”
于是我们也可以这么理解定理 6：
Th7. 设 ≅ 对应的划分 ψ，元素 x 所在类 [x]，在 ψ 上定义乘法：
[x][y]=[x∘y]
则其是 ψ 上的二元代数运算，且 [e]=eH=H

同态基本定理

同态：设群 (G,∘),(G′,⋅)，若存在一个映射 ϕ:G→G′，满足：
∀a,b∈G,ϕ(a∘b)=ϕ(a)⋅ϕ(b)
则称 ϕ 是一个 G 到 G′ 的同态，从而称 G 和 G′ 同态
若 ϕ 是满射，则称 ϕ 是满同态，记为 G∽G′，以下我们都认为是满同态
当 ϕ 为一一对应时，称为同构，记为 G≅G′
满同态具有几个性质：
Th8. ϕ(a−1)=[ϕ(a)]−1,ϕ(e)=e′
Th9. 若 H 是 G 的（正规）子群，则 ϕ(H) 是 G′ 的（正规）子群
Th10. 若 H′ 是 G′ 的（正规）子群，则 ϕ−1(H′) 是 G 的（正规）子群
同时考虑上述的商群概念 G/H，可知 G∽G/H，记该同态为 γ，称为自然同态，即有
γ(a)=aH，且 [a∘b]=γ(a∘b)=γ(a)γ(b)=[a][b]
接下来给出正规子群与同态的又一个关系：
Th11. 设 G∽G′，则 ϕ−1(e′) 是 G 的正规子群，记为 Ker ϕ，称为同态 ϕ 的核
Th12. 群的同态基本定理
设 ϕ 是群 G 到 G′ 的满同态，E=Ker ϕ，则 G/E≅G′
于是群 G 的任一满同态 ϕ 都可分解称一个自然同态 γ 和一个同构 f 的合成，即 ϕ=γ∘f

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