【笔记】Fractional Cascading, Range Tree, Kirkpatrick's Point Location Data Structure

主要是读论文《2D Fractional Cascading on Axis-aligned Planar Subdivisions》时顺便学或看看的东西，写在这里

分散层叠算法（Fractional Cascading）^{[1] [2] [3]}

先考虑一个问题：

Problem 1. 给定k个长为n的序列，q次询问，每次求出每个序列中x的后继，要求强制在线。

对于该问题，我们显然有$O(qklogn)$的简单做法。此外，我们还可以将k个序列归并成长nk的序列，对每个元素记录其在k个数列中的后继，做到单次$O(k+lognk)$，但是空间复杂度是$O(nk^2)$。
对于FC算法，可以做到单次$O(logn+k)$，空间$O(nk)$。算法简述如下：
记k个序列依次为 $L_1,L_2,...,L_k$，构造k个序列 $M_1,M_2,...,M_k$，构造方式为：

1. $M_1=L_1$；
2. $M_i(i>1)$由$M_{i-1}$所有偶数位的元素和$L_i$归并得到，同时记录其中每个元素在$L_i$和$M_{i-1}$中的后继的下标，这显然是能够顺带维护的。
   接下来对于单次查询，只需先在$M_k$中二分即可，接下来只需不断$O(1)$地调用对应元素在上一个数列中的后继，并使用常数（此处不超过1）时间寻找准确的后继即可。
   对于该算法，我们还可以有一些小思考：
   我们考虑时间复杂度的计算方式，归纳可知$M_i$的大小不超过2n。类比该式子我们很容易得到DAG上的推广的解决方式：

Problem 2. 给定一个DAG，其中每个节点都对应一个长为n的序列，q次询问，每次求出长为k的一条链上每个序列中x的后继，要求强制在线。

对于该问题，我们可以发现问题1就是其特殊情况。一种做法是，对于每个顶点，假设其入度为d，则各取其前面节点的M的1/2d 与当前节点的L归并，归纳知线性空间，且单次是$O(logn+kD)$，其中D是一个与链上各点的入度有关的常数。
我们不难发现，我们主要利用的是一种类似于误差或扰动的方法来处理这个问题。问题1的解法中，这个扰动就是1。我们不妨考虑增大这个扰动值，假设扰动阈值为p，那么我们只需从序列中取其1/p加入归并即可，而在查询时$O(logp)$地消除这个扰动。求解不等式得此时空间复杂度依然是$O(nk)$，而预处理的复杂度是$O(nk/p)$，单次时间复杂度是$O(logn+klogp)$。这可能暗示了FC无法做到某些推广（？
此外，还可以通过分散层叠和线段树将带二分的分块优化掉一个log或者优化成loglog，但在算法竞赛中由于常数原因可能不太实用。
我们可以看出，这个算法的名字的形象表达“分散层叠”，就是将分散的信息进行了“阶级式渗透”。

Range Search, 区域树（Range Tree）^{[4] [5] [6]}

Problem 1(Range Search). 给定平面上大小为n的点集，每次查询一个矩形区域Q，回答该区域内所有点。容易得到该问题的高维推广：

Problem 1(d-Dimension Range Search). 给定d为空间上大小为n的点集，每次查询一个polygon Q，回答Q内所有点。

对于一维的问题，我们显然可以通过建立一个线段树，做到$O(n)$空间、单次询问$O(logn)$。而对于二维情况，一种算法竞赛中的常用做法是对x坐标分块，块内对y坐标排序，做到$O(n)$空间，$O(nlogn)$预处理，单次 。这里，我们可以用区域树range tree解决，做到空间复杂度是$O(nlogn)$，单次时间复杂度是$O(log^{2}n)$。具体做法为，以x坐标构造线段树，对于每个节点代表的子区段内的节点，构造一颗以y坐标的线段树，回答询问的做法显然。构造方式为，自顶向下以x分治，自底向上以y归并，易知时间复杂度$O(nlogn)$。
值得一提的是，我们可以利用fractional cascading优化掉一个log，从而达到优秀的$O(nlogn)$，做法即在y区域树上加入一些辅助指针。
此外，我们很容易能将range tree推广到d维的情况，此时对应的复杂度将会是$O(log^{d-1}n)$（若使用FC优化则可以做到$O(log^{d-2}n)$），这比K-d Tree会优秀的多。

Kirkpatrick's Point Location Data Structure ^{[7] [8]}

对于平面点定位问题（Planar Point Location），这里介绍一个做法（还有一个做法是利用Slabs的Path/Node-Copying，反正见链接叭）
该算法用于解决对于平面上的简单多边形划分进行Point Location询问，能做到O(n)的空间，O(nlogn)的预处理，单次O(logn)的复杂度，其中n为划分中的点集大小。原理是对原划分构造层级结构（分层图），每个层间具有交叠和相同部分的三角形划分，查询时从根节点开始，逐步根据层间划分的关系定位查询点的所属的面。
算法本身不难理解：首先对原图进行三角形划分，同时标识每个三角形所属的面。之后不断从当前的划分中选取一个最大点独立集，并删去之，当前的划分会出现一些新的多边形面片（holes），然后对新的多边形面片重新三角化并求出其与原三角形的交叠关系，容易知道，一次处理后总点数减少量是与点独立集大小同阶的，而又可以证明一个极大平面图的最大点独立集与其点数是同阶的，故只需进行logn次操作即可，即得到的分层图的层数是logn。具体实现见参考文献

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1. P. Afshani, L. Arge, and K. G. Larsen. Higher-dimensional orthogonal range reporting and rectangle stabbing in the pointer machine model. In Proceedings of the twenty-eighth annual Symposium on Computational Geometry, pages 323-332, 2012. ↩︎

2. 蒋明润.浅谈利用分散层叠算法对经典分块问题的优化.NOI国家集训队论文集.2020. ↩︎

3. DPair.分散层叠算法学习笔记. https://dpair.gitee.io/articles/fc/ .2020. ↩︎

4. Stony Brook Algorithm Repository.https://algorist.com/problems/Range_Search.html. ↩︎

5. https://www.cse.wustl.edu/~taoju/cse546/lectures/Lecture21_rangequery_2d.pdf. ↩︎

6. 未知.范围搜索(Range Query).https://blog.csdn.net/liuqiyao_01/article/details/8478719. ↩︎

7. Planar Point LocationKirkpatrick's Point Location Data Structure[DB].http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2002/PaulSandulescu/. ↩︎

8. 卜海亮,董力赓,杨之光.基于 Kirkpatrick 结构的点定位算法实现[R]. http://dsa.cs.tsinghua.edu.cn/~deng/cg/project/2003f/2003f-e.pdf. ↩︎