Topcoder SRM 661 (Div.1) 250 MissingLCM - 数论

【题意】

给你一个数N（1<=N<=10^6），要求最小的M（M>N），使得lcm(n+1,n+2,...m)=lcm(1,2,3,...,m)

 

【思路】 

手速太慢啦，等敲完代码的时候发现比赛已经结束了

 

一开始我想直接枚举m，并判断lcm(1,..,m)与lcm(n+1,n+2,...,m)是否相等，但发现，当求到lcm(1,...,40)的时候就爆LL了

显然不能这样求

也就是说，要求出具体lcm(1,2,...,m)的值是很困难的

怎么求

可以把它分解质因数，分解成几个质数相乘的形式

判断lcm(1,...,m)和lcm(n+1,n+2,...,m)的质因数是否完全一样。

但是仅仅1~1000000的质数有8万个

枚举m再枚举质数显然吃不消。

 

然而我注意到有一条性质（不知道算不算）

假设有质数K，可以求出t，使得K的t次方刚好小于m（K^t<=m）

那么lcm(1,2,...,m)分解质因数中一定而且最多有t个质数K连乘，

这样就可以很快地吧lcm(1,2,...,m)分解质因数

 

那么怎么把lcm(n+1,n+2,...,m)分解质因数呢

仍然假设质数K，可以求出最大的t，以及一个常数c（1<=c<K)，使得 n+1<=c*K^t<=m
那么lcm(n+1,n+2,...,m)分解质因数中一定而且最多有t个质数K连乘。

比如说质数3，n=16,m=22,可以求的c=2,t=2，即17<=2*3^2=18<=22，这样lcm(17,18,19,20,21,22)中最多有2个质数3连乘

 

既然知道怎么求lcm(n+1,n+2,..,m)和lcm(1,2,..,m)了

来探讨一下怎么求最小的m吧

我们想让这两个lcm分解质因数后完全一样，也就是说连乘的质数个数也完全相等。

也就是说，对于每个质数K都可以满足，存在c和最大的t 使得n+1<=c*K^t<=m

对于大于n小于m的质数，我们假设是P，那么一定n+1<=P<=m，一定可以满足条件

所以我们就只看小于等于n的质数就可以了

 

因为要使每个小于N的质数K，都存在c和最大的t 使得n+1<=c*K^t<=m，

我们枚举每一个质数，并求得c和t，使得刚好c*K^t>=n，

答案就取最大的c*K^t，即 max( c*K^t )

这样lcm(1,2,...,m)和lcm(n+1,n+2,...,m)的分解质因数后均至少有t个质数K。

如果最终m有 k^(t+1)<=m，那么这个K^(t+1)>n一定成立，故仍满足条件

 

 

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
#include<sstream>
#define eps 1e-9
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define MAXN 1005
#define MAXM 40005
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
LL i,j,k,n,m,x,y,T,big,cas,num;
bool flag;

LL cur,ans;


bool prim[2000005];
LL ver[2000005]; 
void GetPrim(LL size)
{
    LL m=sqrt(size+0.5);
    memset(prim,0,sizeof(prim));//可以根据情况进行清空操作 
    num=0;//把找到的质数存入ver数组中，num为ver数组的长度 
    
    //如果要获得质数数组，i就枚举到size，如果仅仅是prim数组，就枚举到m 
    for (LL i=2;i<=size;i++)
    {
        if (!prim[i])
        {
            ver[++num]=i;
            if (i<=m) for (LL j=i*i;j<=size;j+=i) prim[j]=1;
        }
    }
}

class MissingLCM
{
        public:
        int getMin(int N)
        {
            LL n=N;
            GetPrim(n);
            LL ans=n+1;
            for (i=num;i>=1;i--)
            {
                LL u=ver[i];
                for (j=1;j*u<=n;j*=u);
                
                ans=max(ans,(n/j+1)*j);
            }
            return ans;
        }
};