BestCoder冠军赛 - 1005 Game 【DP】

【题意】

给出一个set，set中有几个数。

现在给出n个人，环成一圈搞约瑟夫。。。

开始时从第1号报数，每次从set中随机选出一个数s，等报数到s后，报s的人出圈，其他人继续报数。

最后只剩1人时，他就胜出。

问最后可能有哪些人胜出，输出编号。

 

【解释】

设dp[i][j]为剩余i个人，并且该j号报数

则状态转移方程为  dp[i][ (j+s[i]-1)%i+1 ]=dp[i-1][j]  

初始时dp[1][1]=1

 

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wow约瑟夫的递推公式太神奇了。。。

 

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

 

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f=(f+m) mod i; (i>1）

 

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单。