BestCoder冠军赛 - 1005 Game 【DP】

题意

给出一个set,set中有几个数。

现在给出n个人,环成一圈搞约瑟夫。。。

开始时从第1号报数,每次从set中随机选出一个数s,等报数到s后,报s的人出圈,其他人继续报数。

最后只剩1人时,他就胜出。

问最后可能有哪些人胜出,输出编号。

 

【解释】

设dp[i][j]为剩余i个人,并且该j号报数

则状态转移方程为  dp[i][ (j+s[i]-1)%i+1 ]=dp[i-1][j]  

初始时dp[1][1]=1

 


wow约瑟夫的递推公式太神奇了。。。

 

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式
 
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
 
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单。
posted @ 2015-05-02 21:43  zhyfzy  阅读(132)  评论(0编辑  收藏  举报