【Unity3D】魔方

1 需求实现

绘制魔方中基于OpenGL ES 实现了魔方的绘制，实现较复杂，本文基于 Unity3D 实现了 2 ~ 10 阶魔方的整体旋转和局部旋转。

本文完整代码资源见→基于 Unity3D 的 2 ~ 10 阶魔方实现（Windows+Android）。下载资源后，对于 Windows 平台，进入【Build/Windows/魔方】目录，打开【魔方.exe】文件即可体验产品；对于 Android 平台，进入【Build/Android/Apk】目录，安装【魔方.apk】文件到手机即可体验产品。

详细需求如下：

1）魔方渲染模块

用户选择魔方阶数，渲染指定阶数的魔方；

2）魔方整体控制模块

用户 Scroll 或 Ctrl + Scroll，控制魔方放大和缩小；
用户 Drag 空白处（或右键 Drag），控制魔方整体连续旋转；
用户点击翻面按钮（或方向键，或 Ctrl + Drag，或 Alt + Drag），控制魔方翻面；
用户点击朝上的面按钮，控制魔方指定面朝上；
可以实时识别用户视觉下魔方的正面、上面、右面；

3）魔方局部控制模块

用户点击刷新按钮，打乱魔方；
用户 Drag 魔方相邻的两个方块，控制该层旋转，Drag 结束自动对齐魔方（局部旋转）；
用户输入公式，提交后执行公式旋转对应层；
每次局部旋转结束，检验魔方是否拼成，若拼成，弹出通关提示；

4）魔方动画模块

魔方翻面动画；
魔方指定面朝上动画；
魔方打乱动画；
魔方局部旋转对齐动画；
公式控制魔方旋转动画；
通关弹窗动画（渐变+缩放+平移）；
撤销和逆撤销动画；
整体旋转和局部旋转动画互不干扰，可以并行；

5）魔方撤销和逆撤销模块

Drag 魔方连续整体旋转支持撤销和逆撤销；
魔方翻面支持撤销和逆撤销；
魔方指定面朝上支持撤销和逆撤销；
魔方局部旋转支持撤销和逆撤销；
公式控制魔方旋转支持撤销和逆撤销（撤销整个公式，而不是其中的一步）；

6）其他模块

用户点击返回按钮，可以返回到选择阶数界面；
用户每进行一次局部旋转，记步加 1，公式每走一步，记步加1 ；
显示计时器；
用户点击开始 / 暂停按钮，可以控制计时器运行 / 暂停，暂停时，只能整体旋转，不能局部旋转；
用户异常操作，弹出 Toast 提示（主要是公式输入合法性校验）；
UI、事件兼容 Windows 和 Android 平台。

选择阶数界面如下：

魔方界面如下：

2 相关技术栈

3 原理介绍

3.1 魔方编码

为方便计算，需要对魔方的轴、层序、小立方体、方块、旋转层进行编码，编码规则如下（假设魔方阶数为 n）：

轴：x、y、z 轴分别编码为 0、1、2，x、y、z 轴分别指向 right、up、forward（由魔方的正面指向背面，左手坐标系）；
层序：每个轴向，由负方向到正方向分别编码为 0 ~ (n-1)；
小立方体：使用仅包含 3 个元素的一维数组 loc 标记，loc[axis] 表示该小立方体在 axis 轴下的层序；
方块：红、橙、绿、蓝、粉、黄、黑色方块分别编码为：0、1、2、3、4、5、-1；
旋转层：旋转层由旋转轴 (axis) 和层序 (seq) 决定。

3.2 渲染原理

在 Hierarchy 窗口新建一个空对象，重命名为 Cube，在 Cube 下创建 6 个 Quad 对象，分别重命名为 0 (x = -0.5)、1 (x = 0.5)、2 (y = -0.5)、3 (y = 0.5)、4 (z = -0.5)、5 (z = 0.5) (方块的命名标识了魔方所属的面，在魔方还原检测中会用到)，调整位置和旋转角度，使得它们围成一个小立方体，将 Cube 拖拽到 Assets 窗口作为预设体。

在创建一个 n 阶魔方时，新建一个空对象，重命名为 Rubik，复制 n^3 个 Cube 作为 Rubik 的子对象，调整所有 Cube 的位置使其拼成魔方结构，根据立方体和方块位置，为每个方块设置纹理图片，如下：

说明：对于任意小方块 Square，Square.forward 始终指向小立方体中心，该结论在旋转层检测中会用到；Inside.png 为魔方内部色块，用粉红色块代替白色块是为了凸显白色线框。

每个小立方体的贴图代码如下：

Cube.cs

private void GetTextures()
{ // 获取纹理
    textures = new Texture[COUNT];
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        textures[i] = RubikRes.INSET_TEXTURE;
        squares[i].name = "-1";
    }
    for(int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        int axis = i / 2;
        // loc为小立方体的位置序号(以魔方的左下后为坐标原点, 向右、向上、向前分别为x轴、y轴、z轴, 小立方体的边长为单位刻度)
        if (loc[axis] == 0 && i % 2 == 0 || loc[axis] == Rubik.Info().order - 1 && i % 2 == 1)
        {
            textures[i] = RubikRes.TEXTURES[i];
            squares[i].name = i.ToString();
        }
        squares[i].GetComponent<Renderer>().material.mainTexture = textures[i];
    }
}

3.3 整体旋转原理

通过调整相机前进和后退，控制魔方放大和缩小；通过调整相机的位置和姿态，使得相机绕魔方旋转，实现魔方整体旋转。详情见缩放、平移、旋转场景。

使用相机绕魔方旋转以实现魔方整体旋转的好处主要有：

整体旋转和局部旋转可以独立执行，互不干扰，方便实现整体旋转和局部旋转的动画并行；
魔方的姿态始终固定，其 x、y、z 轴始终与世界坐标系的 x、y、z 轴平行，便于后续计算，不用进行一系列的投影计算，也节省了性能；
整体旋转的误差不会对局部旋转造成影响，不会影响魔方结构，不会出现魔方崩塌问题。

3.4 用户视觉下魔方坐标轴检测原理

用户翻面、选择朝上的面等整体旋转操作，会改变魔方的正面、右面、上面（即魔方朝上的面不一定是蓝色面、朝右的面不一定是橙色面、朝前的面不一定是粉色面），用户视觉下魔方的 x、y、z 轴也会发生变化。假设魔方的 x、y、z 轴正方向单位向量为 ox、oy、oz，用户视觉下魔方的 x、y、z 轴正方向单位向量为 ux、uy、uz，相机的 right、up、forward 轴正方向单位向量分别为 cx、cy、cz，则 ux、uy、uz 的取值满足以下关系：

相关代码如下：

AxisUtils.cs

using UnityEngine;

/*
 * 坐标轴工具类
 * 坐标轴相关计算
 */
public class AxisUtils
{
    private static Vector3[] worldAxis = new Vector3[] { Vector3.right, Vector3.up, Vector3.forward }; // 世界坐标轴

    public static Vector3 Axis(int axis)
    { // 获取axis轴向量
        return worldAxis[axis];
    }

    public static Vector3 NextAxis(int axis)
    { // 获取axis的下一个轴向量
        return worldAxis[(axis + 1) % 3];
    }

    public static Vector3 Axis(Transform trans, int axis)
    { // 获取trans的axis轴向量
        if (axis == 0)
        {
            return trans.right;
        }
        else if (axis == 1)
        {
            return trans.up;
        }
        return trans.forward;
    }

    public static Vector3 NextAxis(Transform trans, int axis)
    { // 获取trans的axis下一个轴向量
        return Axis(trans, (axis + 1) % 3);
    }

    public static Vector3 FaceAxis(int face)
    { // 获取face面对应的轴向量
        Vector3 vec = worldAxis[face / 2];
        if (face % 2 == 0)
        {
            vec = -vec;
        }
        return vec;
    }

    public static Vector3 GetXAxis()
    { // 获取与相机right轴夹角最小的世界坐标轴
        return GetXAxis(Camera.main.transform.right);
    }

    public static Vector3 GetYAxis()
    { // 获取与相机up轴夹角最小的世界坐标轴
        return GetYAxis(Camera.main.transform.up);
    }

    public static Vector3 GetZAxis()
    { // 获取与相机forward轴夹角最小的世界坐标轴
        return GetZAxis(Camera.main.transform.forward);
    }

    public static Vector3 GetXAxis(Vector3 right)
    { // 获取与right向量夹角最小的世界坐标轴
        int x = GetZAxisIndex(right);
        Vector3 xAxis = worldAxis[x];
        if (Vector3.Dot(worldAxis[x], right) < 0)
        {
            xAxis = -xAxis;
        }
        return xAxis;
    }

    public static Vector3 GetYAxis(Vector3 up)
    { // 获取与up向量轴夹角最小的世界坐标轴
        int y = GetZAxisIndex(up);
        Vector3 yAxis = worldAxis[y];
        if (Vector3.Dot(worldAxis[y], up) < 0)
        {
            yAxis = -yAxis;
        }
        return yAxis;
    }

    public static Vector3 GetZAxis(Vector3 forward)
    { // 获取与forward向量夹角最小的世界坐标轴
        int z = GetZAxisIndex(forward);
        Vector3 zAxis = worldAxis[z];
        if (Vector3.Dot(worldAxis[z], forward) < 0)
        {
            zAxis = -zAxis;
        }
        return zAxis;
    }

    public static int GetAxis(int flag)
    { // 根据flag值, 获取与相机坐标轴较近的轴
        if (flag == 0)
        {
            return GetXAxisIndex(Camera.main.transform.right);
        }
        if (flag == 1)
        {
            return GetXAxisIndex(Camera.main.transform.up);
        }
        if (flag == 2)
        {
            return GetXAxisIndex(Camera.main.transform.forward);
        }
        return -1;
    }

    private static int GetXAxisIndex(Vector3 right)
    { // 获取与right向量夹角最小的世界坐标轴索引
        float[] dot = new float[3];
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        { // 计算世界坐标系的坐标轴在相机right轴上的投影
            dot[i] = Mathf.Abs(Vector3.Dot(worldAxis[i], right));
        }
        int x = 0;
        if (dot[x] < dot[1])
        {
            x = 1;
        }
        if (dot[x] < dot[2])
        {
            x = 2;
        }
        return x;
    }

    private static int GetYAxisIndex(Vector3 up)
    { // 获取与up向量轴夹角最小的世界坐标轴索引
        float[] dot = new float[3];
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        { // 计算世界坐标系的坐标轴在相机up轴上的投影
            dot[i] = Mathf.Abs(Vector3.Dot(worldAxis[i], up));
        }
        int y = 1;
        if (dot[y] < dot[2])
        {
            y = 2;
        }
        if (dot[y] < dot[0])
        {
            y = 0;
        }
        return y;
    }

    private static int GetZAxisIndex(Vector3 forward)
    { // 获取与forward向量夹角最小的世界坐标轴索引
        float[] dot = new float[3];
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        { // 计算世界坐标系的坐标轴在相机forward轴上的投影
            dot[i] = Mathf.Abs(Vector3.Dot(worldAxis[i], forward));
        }
        int z = 2;
        if (dot[z] < dot[0])
        {
            z = 0;
        }
        if (dot[z] < dot[1])
        {
            z = 1;
        }
        return z;
    }
}

3.5 选择朝上的面原理

首先生成 24 个视觉方向（6 个面，每个面 4 个视觉方向），如下（不同颜色的线条代表该颜色的面对应的 4 个视觉方向），记录相机在这些视觉方向下的 forward 和 right 向量，分别记为：forwardViews、rightViews（数据类型：Vector3[6][4]）。

当选择 face 面朝上时，需要在 forwardViews[face] 的 4 个向量中寻找与相机的 forward 夹角最小的向量，记该向量的索引为 index，旋转相机，使其 forward 和 right 分别指向 forwardViews[face][index]、rightViews[face][index]。

3.6 旋转层检测原理

1）旋转轴检测

假设屏幕射线检测到的两个相邻方块分别为 square1、square2。

如果 square1 与 square2 在同一个小立方体里，square1.forward 与 square2.forward 叉乘的向量就是旋转轴方向向量；
如果 square1 与 square2 在相邻小立方体里，square1.forward 与 (square2.position - square1.position) 叉乘的向量就是旋转轴方向向量；

假设叉乘后的向量的单位向量为 crossDir，我们将 crossDir 与 3 个坐标轴的单位方向向量进行点乘（记为 project），如果 Abs(project) > 0.99（夹角小于 8°），就选取该轴作为旋转轴，如果每个轴的点乘绝对值结果都小于 0.99，说明屏幕射线拾取的两个方块不在同一旋转层，舍弃局部旋转。补充：project 在 3）中会再次用到。

2）层序检测

坐标分量与层序的映射关系如下，其中 order 为魔方阶数，seq 为层序，pos 为坐标分量，cubeSide 为小立方体的边长。由于频繁使用到 pos 与 seq 的映射，建议将 0 ~ (order-1) 层的层序 seq 对应的 pos 存储在数组中，方便快速查找。

square1 与 square2 在旋转轴方向上的坐标分量一致，假设为 pos（如果旋转轴是 axis，pos = square1.position[axis]），由上述公式就可以推导出层序 seq。

3）拖拽正方向

拖拽正方向用于确定局部旋转的方向，计算如下，project 是 1）中计算的点乘值。

SquareUtils.cs

private static Vector2 GetDragDire(Transform square1, Transform square2, int project)
{ // 获取局部旋转拖拽正方向的单位方向向量
    Vector2 scrPos1 = Camera.main.WorldToScreenPoint(square1.position);
    Vector2 scrPos2 = Camera.main.WorldToScreenPoint(square2.position);
    Vector2 dire = (scrPos2 - scrPos1).normalized;
    return -dire * Mathf.Sign(project);
}

3.7 局部旋转原理

1）待旋转的小立方体检测

对于每个小立方体，使用数组 loc[] 存储了小立方体在 x、y、z 轴方向上的层序，每次旋转结束后，根据小立方体的中心坐标可以重写计算出 loc 数组（3.6 节中公式）。

假设检测到的旋转轴为 axis，旋转层为 seq，所有 loc[axis] 等于 seq 的小立方体都是需要旋转的小立方体。

2）局部旋转

在 Rubik 对象下创建一个空对象，重命名为 RotateLayer，将 RotateLayer 移至坐标原点，旋转角度全部置 0。

将处于旋转层的小立方体的 parent 都设置为 RotateLayer，对 RotateLayer 进行旋转，旋转结束后，将这些小立方体的 parent 重置为 Rubik，RotateLayer 的旋转角度重置为 0，根据小立方体中心的 position 更新 loc 数组。

3.8 还原检测原理

对于魔方的每个面，通过屏幕射线射向每个 Square 的中心，获取检测到的 Square 的 name，如果存在两个 Square 的 name 不一样，则魔方未还原，否则继续检测下一个面，如果每个面都还原了，则魔方已还原。

SuccessDetector.cs

public void Detect()
{ // 检测魔方是否已还原
    for (int i = 0; i < squareRays.squareRays.Length - 1; i++)
    { // 检测每个面(只需检查5个面)
        string name = GetSquareName(i, 0);
        for (int j = 1; j < squareRays.squareRays[i].Length; j++)
        { // 检测每个方块
            if (!name.Equals(GetSquareName(i, j)))
            {
                return;
            }
        }
    }
    Success();
}

private string GetSquareName(int face, int index)
{ // 获取方块名
    if (Physics.Raycast(squareRays.squareRays[face][index], out hitInfo))
    {
        return hitInfo.transform.name;
    }
    return "-1";
}

说明：squareRays 里存储了每个方块对应的射线，这些射线由方块的外部垂直指向方块中心。