最少多少步才能逮住兔子

合集 - 趣味逻辑(1)

1.最少多少步才能逮住兔子2023-03-19

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1问题描述

有n个水平并排相邻的洞穴，从左到右依次编号1,2,...,n。某个洞穴中有一只兔子，该兔子每天晚上都会跳到相邻的洞穴中，有个农夫每天晚上会去一个洞穴逮兔子，请问该农夫至少要花多少天（或查看多少次洞穴）才能一定逮住该兔子？

2最优方案

农夫查看洞穴的编号依次为：2,3,...,n-3,n-2, n-2,n-3,...,3,2，一共查看了2(n-1)次，采用该方案一定能逮住兔子。

3方案解析

由于开始兔子的位置未知，原问题等价于：刚开始每个洞穴中有且仅有一只兔子，它们彼此互不干扰对方活动，洞穴足够大，可以容纳无穷只兔子，请问该农夫至少要花多少天（或查看多少次洞穴）才能逮住所有兔子？（若一个洞穴中有多只兔子，该农夫一次逮住该洞穴内的所有兔子）

刚开始，将奇数编号洞穴内的兔子染成红色，将偶数编号洞穴内的兔子染成绿色。如下，箭头表示农夫搜索位置。

下面不加证明地给出几个真命题：

• 无论什么时候，所有红毛兔子所在洞穴编号奇偶性一致，所有绿毛兔子所在洞穴编号奇偶性一致，且与红毛兔子的奇偶性相反；
• 无论什么时候，每个洞穴要么没有兔子，要么全是红毛兔子，要么全是绿毛兔子，不可能出现红毛兔子和绿毛兔子混在一个洞穴中的情况；
• 不可能存在两只红毛兔子相邻，也不可能存在两只绿毛兔子相邻；
• 每个红毛兔子想要越过其左边（或右边）的红毛兔子，必定会在某一洞穴内相遇；每个绿毛兔子想要越过其左边（或右边）的绿毛兔子，必定会在某一洞穴内相遇

当农夫从2号到n-1号洞穴扫描时，由于其行为是在兔子的行为（每次只能向相邻位置跑，在同一位置不能连续待两天）基础上，加上约束：只能向右跑，所以此时可以将农夫看成一只绿毛兔子，即农夫在向右扫描的过程中，要么遇到的洞穴为空，要么会逮住绿毛兔子；刚开始，所有绿毛兔子都在农夫右边，它们想要越过农夫，必定会在某个洞穴内相遇，即被逮住，所以当农夫扫描到第n-1个洞穴时，所有绿毛兔子都被逮住了。

当农夫从n-1号到2号洞穴扫描时，由于他在n-1处连续待了两天，其所在洞穴编号的奇偶性不再与绿毛兔子一致，反而与红毛兔子一致，因此此时可将农夫看成一只红毛兔子。所有红毛兔子都在农夫左边，同上分析，可得：当农夫扫描到2号洞穴时，所有红毛兔子都会被逮住。

综上所述：当农夫按照2,3,...,n-3,n-2, n-2,n-3,...,3,2的顺序搜索洞穴，一定会逮住所有兔子，由此可得，无论兔子初始在什么位置，农夫按照此路线一定能逮住这只兔子。

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