每日算法 ---- 杨辉三角

杨辉三角

1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3. 第n行的数字有n项。
4. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
5. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
6. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
7. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
8. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
9. 将第n行的数字分别乘以10^{（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11}（n-1）。11^0=1，111=1x10^0+1×101=11，11^2=1×100+2x10^1+1x102=121，11^3=1x100+3×10^1+3x102+1x10^3=1331，114=1x10^0+4x101+6x10^2+4x103+1x10^4=14641，115=1x10^0+5x101+10x10^2+10x103+5x10^4+1×105=161051。
10. n行数字的和为2^{（n-1）。1=2}（1-0），1+1=2^{（2-1），1+2+1=2}（3-1），1+3+3+1=2^{（4-1），1+4+6+4+1=2}（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。
11. 任一对角线上数字的和等于其向右拐弯，拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。
12. 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

 /**
     * 打印杨辉三角
     *  是 二项式系数 在三角形中的一种几何排序
     */
    public function test()
    {
        echo "<pre>";
        $arr = [];
        $N = 10; //打印几层
        for($i = 0; $i<$N; $i++) { //几层
            for($m = 0;$m<$N-$i;$m++) {
                print_r(' ');
            }
            for($j = 0; $j<=$i; $j++)
            {
                if((0 == $j)||($i == $j)){
                    $arr[$i][$j] = 1;
                }else{
                    $arr[$i][$j] = $arr[$i-1][$j] + $arr[$i-1][$j-1];
                }
                print_r($arr[$i][$j]);
            }
            print_r("\n");
        }
    }