后缀自动机

极强大的字符串算法。

endpos

定义 $s$ 的一个子串的 $\operatorname{endpos}$ 为该子串在 $s$ 中所有出现的结尾位置的集合。

例如 $s=\text{ababc}$，则 $\operatorname{endpos}(\text{ab})=\{2,4\}$（字符位置从 $1$ 开始编号）。因为 $\text{ab}$ 在 $\text{ababc}$ 中出现了 $2$ 次，这两次的结尾位置分别为 $2$ 和 $4$。

一些结论：

引理 1： 若 $u,v$ 为 $s$ 的子串（$|u|\le|v|$），则要么 $\operatorname{endpos}(u)\subseteq\operatorname{endpos}(v)$，要么 $\operatorname{endpos}(u)\cap\operatorname{endpos}(v)=\varnothing$。

如果 $u$ 为 $v$ 的后缀，则在 $v$ 任意一次出现的位置，$u$ 一定也出现了，所以 $\operatorname{endpos}(u)\subseteq\operatorname{endpos}(v)$。

如果 $u$ 不是 $v$ 的后缀，则在 $v$ 任意一次出现的位置，$u$ 一定没有出现，所以 $\operatorname{endpos}(u)\cap\operatorname{endpos}(v)=\varnothing$。

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将 $\operatorname{endpos}$ 相同的子串归为一类，叫做 $\operatorname{endpos}$ 等价类。

例如 $\text{ababc}$ 有 $5$ 个 $\operatorname{endpos}$ 等价类：

$\operatorname{endpos}=\{1,3\}$：$\text{a}$
$\operatorname{endpos}=\{3\}$：$\text{ba},\text{aba}$
$\operatorname{endpos}=\{2,4\}$：$\text{b},\text{ab}$
$\operatorname{endpos}=\{4\}$：$\text{bab},\text{abab}$
$\operatorname{endpos}=\{5\}$：$\text{c},\text{bc},\text{abc},\text{babc},\text{ababc}$

观察可发现：

引理 2： 任意一个 $\operatorname{endpos}$ 等价类里的字符串，依次为后者的后缀，且长度递增。

感性理解：从某个子串开始，不断向前添加字符，$\operatorname{endpos}$ 不变。直到再添加字符 $\operatorname{endpos}$ 就变了，那么这个过程中得到的所有字符串构成一个 $\operatorname{endpos}$ 等价类。

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结合两个引理可知：$\operatorname{endpos}$ 的包含关系构成树，称为 parent tree。例如 $\text{ababc}$ 的 parent tree 为：

实际上，parent tree 的结点就是后缀自动机的结点：

parent tree 结点包含的字符串就是在 SAM 上能走出来的字符串。

回顾

SAM 比较复杂，在这里回顾一下这些定义，读者可以对照上面的后缀自动机来理解。

在 SAM 中，结点有两个含义：$\text{endpos}$ 和一些字符串。（在图中，我用横线把一个结点分成了两份，上面的是 $\text{endpos}$，下面的就是那些字符串）

在 SAM 中，有两种边：parent tree 边（黑边）和 Trie 边（蓝边）。

两个结点的 $\text{endpos}$ 要么一个包含于另一个，要么没有交集。包含关系构成 parent tree。

如果 $u$ 的 $\text{endpos}$ 包含于 $v$，则 $u$ 代表的字符串为 $v$ 的后缀。

从一个字符串的开头不断删字符，相当于沿 parent tree 向上走。特别地，从整个字符串（上图中为 $\text{ababc}$）的所有后缀是一条在 parent tree 上的链（上图中包括 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 和 $\{5\}$ 两个结点），下文称为后缀链。

设有一条 Trie 边 $(u,v)$，字符为 $c$。则 $u$ 代表的每个字符串末尾添加字符 $c$ 后，得到的字符串都属于 $v$。（比如在上图中，结点 $\{2,4\}$ 包含两个字符串：$\text{b}$ 和 $\text{ab}$。将两个字符串结尾都加上字符 $c$，得到的 $\text{bc}$ 和 $\text{abc}$ 都在结点 $\{5\}$ 里。而正好有一条字符为 $c$ 的 Trie 边从 $\{2,4\}$ 指向 $\{5\}$）

根的 $\text{endpos}$ 应该包含从 $0$ 到字符串长度的所有正整数（试着建立 $\text{aa}$ 的 SAM，你就知道为什么要包含 $0$ 了），根代表的字符串一般认为是空串。或者你也可以认为根就是个形式，没有实际意义。

建立

建立 SAM 的算法是在线的，即每添加一个字符就能马上得到当前的 SAM。

设原串为 $s$，添加的字符为 $c$，则新串为 $s+c$（下文称为新串），新串的长度为 $n$。

实际上，我们只需要在 SAM 里添加新串的所有后缀。这些后缀中可能有些在 $s$ 中出现过（下文称为旧字符串），有些没出现过（例如 $s+c$ 在 $s$ 中肯定没出现过）（下文称为新字符串，区别于新串）。

情况 1

新串的所有后缀都是新字符串。

例：$s=\text{abab},c=\text{c}$。

添加字符之前的字符串 $s=\text{abab}$ 的后缀自动机如图：

$s+c=\text{ababc}$ 的所有后缀为 $\text{c,bc,abc,babc,ababc}$，在上图中都没出现。

也就是说这五个字符串的 $\text{endpos}$ 都为 $\{5\}$。

所以添加一个结点 $np$（名字和代码统一）（可结合下图理解），表示 $\text{endpos}=\{5\}$，包含 $\text{c,bc,abc,babc,ababc}$ 这五个字符串。

然后考虑 $np$ 在 parent tree 上的父结点，应该是根，因为其他结点的 $\text{endpos}$ 都不包含 $5$。（注意这里根的 $\text{endpos}$ 自动添加了一个 $5$）

再考虑哪些结点的 Trie 边需要指向 $np$。注意到原串的所有后缀加上 $c$ 都是新串的后缀，所以应该将后缀链上的每个结点都指向 $np$。

情况 2

新串的后缀既有新字符串又有旧字符串。

例：$s=\text{aba},c=\text{b}$。

原自动机如图：

$s+c$ 的所有后缀为 $\text{b,ab,bab,abab}$。其中前两个在原 SAM 中出现了，为结点 $\{2\}$。

（我们称结点 $\{2\}$ 为 $q$，称 $\{1,3\}$ 结点为 $p$）

注意到结点 $q$ 中的所有字符串都是 $s+c$ 的后缀，所以可以将 $q$ 的 $\text{endpos}$ 从 $\{2\}$ 变成 $\{2,4\}$。

对于 $\text{bab,abab}$ 这两个字符串，还是需要新建一个结点 $np$，其 $\text{endpos}=\{4\}$。

考虑 $np$ 的父结点，应该为 $q$。

考虑指向 $np$ 的结点，同样应该是后缀链上的结点。但是并不是所有，而应只是 $p$ 以下的结点。（稍后将详细讨论）（可结合下图理解）

得到新 SAM：

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接下来仔细思考如何找到 $q$。

仍然，在原串的所有后缀后加一个 $c$，将得到新串的所有后缀。

$$\begin{aligned} \varnothing&+\text{b=b}\\ \text{a}&+\text{b=ab}\\ \text{ba}&+\text{b=bab}\\ \text{aba}&+\text{b=abab}\\ \end{aligned}$$

所以要想找 $q$，只要找到其父结点 $p$。而 $p$ 又在后缀链上，所以沿着后缀链找 $p$ 即可。

后缀链上哪个是 $p$ 呢？首先 $p$ 必须要有一个 $c$ 的 Trie 子结点（即 $q$），其次离根最远的那个就是。

如果不是离根最远的那个的话，虽然也能找到一个类似的 $q$，但这个 $q$ 可能并不是 $np$ 的直接父结点，而只是一个普通的祖先结点。读者可以用 $\text{ababa+b}$ 试一试。

最后的算法步骤就是：沿着后缀链向上爬，直到某个结点有 $c$ 的 Trie 边，这条边指向的结点就是 $q$。

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回到上图上面的问题：为什么在后缀链上，只有 $p$ 以下的结点才连一条到 $np$ 的边？因为 $p$ 以及 $p$ 以上的结点，都已经有这样的 Trie 子结点了（例如 $p$ 就有 $q$）。这些 Trie 子结点都是 $np$ 的祖先，而非 $np$ 本身。

情况 3

在情况 2 中，$q$ 的所有字符串都是新串的后缀，如果不是呢？

例：$s=\text{aaba},c=\text{b}$。

不妨直接把新串的 SAM 建出来看看。

注意到第一张图中的 $q$ 结点包含 $\text{b,ab,aab}$，但是在第二张图中这三个字符串分到了两个结点里，我们称为 $q$ 和 $nq$。

显然，我们需要分裂 $q$ 结点，其中包含新串后缀的称为 $nq$。

其余和情况 2 类似，读者可以自己分析。只需考虑一件事：有些结点本来有 Trie 边指向 $q$，现在需要指向 $nq$；但有些结点不用改。

哪些需要改呢？既然要指向 $nq$，那么它必然包含 $nq$ 的前缀，而这样的字符串就是原串的后缀，在后缀链上。

所以只有在后缀链上，并且原本指向 $q$ 的结点，才需要更改并指向 $nq$。

代码讲解

上面其实没讲完，剩下的对着代码讲吧。

SAM 代码极短，比线段树之类的简单数据结构还要短不少，轻松进 1K。

如果说 SA 有个 25 行简洁高效的代码，那么这就是 SAM 23 行的实现。

SAM 大概是 2012 年被陈立杰引入 OI 的，所以 2009 年的后缀树确实很复杂。

现在不是了，反串的 parent tree 就是后缀树，同样 23 行。

SA 的线性构造，比如 SA-IS、DC3 什么的似乎很厉害很学术，其实 SAM（构造的后缀树）就能线性构造 SA。

SAM nb

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000010;//注意 SAM 需要开 2 倍数组
string S;
int cnt=1,lst=1,ch[N][26],fa[N],len[N];
int main(){
	cin>>S;
	for(int i=0;i<S.length();i++){
		int p=lst,c=S[i]-'a';
		int np=lst=++cnt;
		len[np]=len[p]+1;
		for(;p&&!ch[p][c];p=fa[p]) ch[p][c]=np;
		if(!p) { fa[np]=1; continue; }
		int q=ch[p][c];
		if(len[q]==len[p]+1){ fa[np]=q; continue; }
		int nq=++cnt;
		len[nq]=len[p]+1;
		fa[nq]=fa[q]; fa[q]=fa[np]=nq;
		for(int j=0;j<26;j++) ch[nq][j]=ch[q][j];
		for(;p&&ch[p][c]==q;p=fa[p]) ch[p][c]=nq;
	}
	return 0;
}

cnt 是新建结点时的计数器，lst 是当前代表整个字符串的结点（找后缀链的时候显然要用）。

p 用来在沿着后缀链向上爬。

c np q nq 意义与文章相同。

ch 是 Trie 边，fa 是 parent tree 边，len 是结点代表的最长字符串的长度。

只需注意一点：如何区分情况 2 和情况 3。

将 $p$ 最长的字符串加一个 $c$ 字符，得到的字符串属于 $q$（Trie 边性质），所以 $\text{len}_p+1\le\text{len}_q$。

如果取等号，说明 $q$ 中的所有字符串都是由 $p$（及其祖先）添加字符 $c$ 得到的，是情况 2。

如果取小于号，说明 $q$ 中有的字符串并不是 $p$ 及其祖先添加字符得到的，是情况 3。

复杂度

OI-Wiki 写得不错，建议看 “正确性证明” “对操作次数为线性的证明” “更多性质” 三部分。