杂题乱刷2
杂题乱刷
P10141 [USACO24JAN] Merging Cells P
题目大意
给一个序列，每次可以合并两个相邻的数，变成他们的和，编号变成较大的数的编号（相等就变成编号较大的数的编号），问最后剩下一个数，他的编号为 \(i=1\sim n\) 的概率
solution
设 \(f_{i,j}\) 表示将 \([i,j]\) 合并后的概率，那么从 \([1,n]\) 开始转移到 \([i,i]\) 即可计算出答案
观察转移，我们像区间DP一样分裂成两个区间，但这道题对其中一个有贡献，并且恰好分为两部分，于是就考虑前后缀优化DP，用二分找到断点
P4770 [NOI2018] 你的名字
题目大意
给定一个
CF1037H Security
[ABC215G] Colorful Candies 2
题目描述
现在有 \(n\) 个糖果, 每个糖果有一种颜色 \(c_i\).
现在高桥君想要在中间选 \(k\) 个糖果，他的快乐值是选择的糖果的颜色种类数.
对于 \(\forall k \in [1,n]\), 求出高桥君随机选择 \(k\) 个糖果的快乐值的期望值, 对 \(998244353\) 取模.
\(n \le 5 \times 10^4\), \(c_i \le 10^9\).
solution
首先一眼 \(O(n\sqrt n)\)
分析一下题目，令 \(b_i\) 表示颜色 \(i\) 出现的个数，颜色本身不重要，所以 \(b_i\) 相同的，本质相同
因为 \(\sum b=n\)，所以最多只有 \(\sqrt n\) 个
那么问题就变成了从 \(n\) 个球，其中有 \(i\) 个特殊球，取出 \(k\) 个，取到特殊球的概率
显然可以在 \(O(n)\) 的时间复杂度依次处理 \(k=1\sim n\)
[USACO24FEB] Lazy Cow P
题目描述
给定 \(n\) 个要求，形如 \((m,b)\) ，要求前 \(m\) 个数的和要大于等于 \(b\) ，每个数的贡献为 \(3^{X-1}\)。问为了满足前 \(k(k=1 \sim n)\) 个要求，贡献最小为多少。
solution
首先考虑计算答案，对于一个要求，我们最好的做法是均分
对于一串 \(m\) 递增的要求，我们发现一个个做并不正确，如果后面平均下来的值更大，那我们不如在前面就做更多题，即 \(\dfrac bm\) 应该满足单调递减。
于是这道题变成维护 \((m,b)\) 的凸包，要求支持随机插点，向左右更新，用 \(set\) 维护即可
P1410 子序列&P4728 [HNOI2009] 双递增序列
双倍经验
题目大意
给定一个长度为 \(N\)（\(N\) 为偶数）的序列，问能否将其划分为两个长度为 \(N / 2\) 的严格递增子序列。
\(N\le2000\)
solution
考虑dp，一般的LIS做法，为了满足正确性，维数可能需要3到4维，这道题问的只是可行性，用DP数组存 \(0/1\) 显然不优，考虑把状态转到dp值上
设 \(f_{i,j}\) 表示做完前 \(i\) 个后，\(a_i\) 那个集合里有 \(j\) 个数，另一个集合的最小值
转移就考虑放在哪个集合即可
