不知道记哪的小tips

Tips

1. 对于\(a_i\le n\)，可以连边\((i,a_i)\)，然后就变成一棵内向基环树森林

2. 一种图论题目可以把边挂在点上（可以挂一半，也可以挂全部），当然也可以把点权挂在边上

3. 要求图的度都为奇数，等价于要求图的连通块大小都为偶数

   证明：

   必要性：反证，考虑若有一个连通块大小奇数，那么图的总度数为奇数，不成立，证毕

   充分性：若有把一个偶数大小连通块变成树，一个点若有奇数个儿子，就断父亲的边，否则就上传，可以发现上传的子树大小为奇数，独立的子树大小为偶数，所以到根节点的度一定为奇数，证毕

4. 动态判断图是否为二分图，把每个点拆成两个\(x_1,x_2\)，然后用可撤回并查集交叉连边，若\(x_1,x_2\)联通，则不是二分图

5. 全局+整数，可以离线下来，变成全局+非负数

6. a[++cnt]=b[cnt]=x要慎用，linux下好像等价于b[cnt]=x,a[++cnt]=x，但在windows下是a[++cnt]=x,b[cnt]=x

   • 补充：a[x]=a[++x]或者a[x]=a[--x]也要慎用（其实是不能用，2024.1.25又因为它调了1h）

7. 如链覆盖的网络流模型，如果有类似但无法处理的问题，可以考虑转化为费用流（如k条互不相交的链最多覆盖几个点）

8. dp中出现了偏序关系可以考虑分治，先处理左半边，然后把左半边贡献在右半边，在处理右半边

9. 当dp出现枚举子集\(O(3^n)\)时，用sosdp优化成\(n2^n\)，巧妙利用高维前缀和、差分

10. 最大流转最小割：ABC332G，芙蓉王（源）

11. \(max(a_i,a_{i+1},a_{i+2})-min(a_i,a_{i+1},a_{i+2})\)可以转化为\(b_i=a_i-a_{i+1},max(|b_i|,|b_{i+1}|,|b_i+b_{i+1}|)\)

12. 树上有很多问题，如背包...，跟子树大小(或叶子节点个数)有关，而且子树大小相等时贡献一样时，可以发现最多只有 \(\sqrt n\) 种

13. 排列的容斥：

    \[(|S|=n的方案数)-(|S|=n-1的方案数)+(|S|=n-2的方案数)... \]

14. \[\sum_{i=1}^n \frac 1i=\ln n+C\\ \sum_{i=1}^n \frac 1{i^2}=\frac{\pi^2}6 \]

15. 如同统计答案和，方案数的dp，我们常把它相乘进行转移，计算期望和概率也是这个原理

16. 有向强连通图中最小平均权值回路：一种简单做法，01分数规划+SPFA判负环