行列式学习笔记

行列式

基础

概念

n 阶行列式

|a11a12...a1na21a22...a2n.........an1an2...ann|

完全展开式 j1j2...jn(1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

τ 指逆序对数

性质

  1. 经过转置后,行列式的值不变,即 |AT|=|A|
  2. 两行或两列互换位置,行列式 ×1
  3. 把某行(列)的 k 倍加到另一行(列),行列式的值不变
  4. 某行(列)有公因子 k 可提到行列式外
  5. 行列式的某行(列)是两个元素之和,可把行列式拆成两个行列式之和

通过性质23,我们可以完成高斯消元,把矩阵变成上三角矩阵,容易发现,上三角矩阵的行列式就是对角线上的数的乘积(通用计算方法

性质45的证明:

Laplace展开

  • 余子式(minor):Mij ,表示去掉第 i 行和第 j 列的 n1 阶行列式
  • 代数余子式(cofactor): Aij=(1)i+jMij

|A|=k=1naikAik,i=1,2,...,n

特殊的:

|AOB|=|AOB|=|A||B|, |OAB|=|ABO|=(1)mn|A||B|

范德蒙德行列式

|11...1x1x2...xnx12x22...xn2............x1n1x2n1...xnn1|=1j<in(xixj)

例题

【2021集训队互测一】愚蠢的在线法官

题目大意

给定树的形态,数组 A,v,求

|vLCA(A1,A1)vLCA(A1,A2)vLCA(A1,An)vLCA(A2,A1)vLCA(A2,A2)vLCA(A2,An)vLCA(An,A1)vLCA(An,A2)vLCA(An,An)|

solution

首先 A 中若有重复,其行列式一定为0

然后交换两个 A ,相当于交换一行和一列,行列式不变

所以考虑在树上进行行列式的合并

我们需要处理的是

|AVVB|

A,B是两个需要合并的行列式, V 表示全是 vk 的矩阵(需要合并的两棵子树的LCA是固定的)

如何求呢?

|A|s 表示把 A 任意一行改成1的行列式的和,At 表示把 A 矩阵中的每个元素 t

考虑用上面的性质45证明一个东西:

|A|=|At|+t|A|s

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