决策单调性

决策单调性&DP

preface

DP的决策单调性优化总结 - command_block 的博客

老早就听说了四边形不等式的大名，但听到的更多是"打表发现决策单调性，然后直接做..."，所以就学了一下...

本文将先介绍四边形不等式，斜率优化（特殊情况满足决策单调性），然后再进入正题

至于为什么不讲单调队列，其本身就是决策单调性的一种特殊情况

还有，决策单调性和凸性相关，所以常常可以配合wqs二分使用

四边形不等式

简称：交叉小于包含

a < b < c < d, w (a, c) + w (b, d) \leq w (a, d) + w (b, c)

$a<b<c<d,w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c)$

$w(i,j)$ 表示从i转移到j的贡献

当w满足四边形不等式时，该DP具有决策单调性

而决策单调性到底是什么？它告诉我们，我们的转移点一定只会变大

斜率优化

f_{i} = (i) + max {f_{j} + (j) + (i^{'}) (j^{'})}

$f_i=(i)+\max\{f_j+(j)+(i')(j')\}$

$(i)(i')$ 为与i有关的贡献

然后我们就把每个j看作 $((j'),f_j+(j))$ 的点，维护个凸包，然后用斜率 $k=-(i')$ 的斜线去切，计算答案

于是就涉及到两个单调性的问题

$(j')$ 是否有单调性，这决定着维护凸包是否用cdq或李超树
$(i')$ 是否有单调性，这决定着切凸包时用队列或是二分

当同时满足两个单调性时，该dp就有决策单调性，并且可以用简单的单调队列处理

当变成树形dp时，可能要求维护支持撤回的凸包，就需要可持久化李超树（其实全部的斜率优化都可以用李超树）

1D/1D

指状态数为n，转移为n的DP

通用做法——二分栈

如[P3515 [POI2011] Lightning Conductor]([P3515 POI2011] Lightning Conductor - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_n\}$ ，对于每个 $i\in [1,n]$ ，求出一个最小的非负整数 $p$ ，使得 $\forall j\in[1,n]$ ，都有 $a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}$

$1 \le n \le 5\times 10^{5}$ ， $0 \le a_i \le 10^{9}$ 。

简单转化题意，我们求的是

f_{i} = m a x_{j = 1}^{i} a_{j} + \sqrt{i - j}

$f_i=max_{j=1}^i a_j+\sqrt{i-j}$

发现开根满足四边形不等式，有决策单调性

如图，最优转移一直再向右，可以用二分栈维护，具体来说，一般用单调队列实现

我们维护一个单调队列，使得相邻的决策点的临界点递增（结合上图思考），然后如果到达队头的临界点，就弹出队头。每次再加入，保证单调性。找临界点用二分

2D/1D

指状态数为 $n^2$ ，转移为n的DP，而且同层之间没有转移，只从上一层转移并有单调性

分治

考虑一种简单的做法，定义分治函数 $solve(l,r,ll,rr)$ ，表示状态为 $l\sim r$ ，决策点可能为 $ll\sim rr$

然后每次暴力找到 $mid$ 的决策点 $k$ ，分治 $solve(l,mid-1,ll,k),solve(mid+1,r,k,rr)$

时间复杂度和二分栈一样，多一个log

那么它的优势在哪？

CF833B The Bakery

将一个长度为 $n$ 的序列分为 $k$ 段，使得总价值最大。

一段区间的价值表示为区间内不同数字的个数。

$n\leq 35000,k\leq 50$

我们发现区间的贡献无法快速计算，它是莫队的经典例题

根据分治树美妙的形态，我们可以证明暴力跑莫队的时间复杂度还是log

void solve(int l,int r,int ll,int rr){
	int mid=l+r>>1,k=0;
	Fu(i,ll,min(rr,mid-1)){
		while(x>i+1) add(--x);
		while(y<mid) add(++y);
		while(x<i+1) del(x++);
		while(y>mid) del(y--);
		if(f[mid]<g[i]+num) f[mid]=g[i]+num,k=i;
	}
	if(l==r) return ;
	if(l<mid) solve(l,mid-1,ll,k);
	if(mid<r) solve(mid+1,r,k,rr);
}