省选联考总结

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• 2023.12.11
  • T1
    • 题目大意
    • sulotion
  • T2
    • 题目大意
    • solution
• 2023.12.14
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    • 题目大意
    • solution
• 2023.12.15
  • T3
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• 2023.12.19
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• 2023.12.20
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• 2023.12.22
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• 2023.12.23
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  • T3

2023.12.11

先调整状态，比赛好像不是很能做出题，每次都应该冲一道正解，然后暴力打满，争取高的部分分

T1

题目大意

有个大小为h的画布，大小为n的画笔，定义画笔为$\{d_i,i\in[1,n-1]\}$，表示可以在$\{x,x+d_1,x+d_1+d_2...\}$的位置涂颜色，要求每个位置都要涂恰好一次，且不能涂出界，问画笔有几种

sulotion

首先观察结论，若有$d_i=1$定义其为连续段，可以发现连续段之间的间隔一定要相等，才合法。然后连续段的大小也要相等，设其为x，那么间隔大小一定为x的倍数

考虑一下朴素dp，设$f_{i,j}$表示大小为i的画布，大小为j的画笔，连续段的大小为1的方案数，那么$ans=\sum_{k|n}f_{\frac hk,\frac nk}$，发现f转移需要容斥...，好像会T

然后考虑优化，设$g_{i,j}$表示大小为i的画布，大小为j的画笔，连续段大小大于1的方案数。然后转移$g_{i,j}=\sum_{k|j}f_{\frac ik,\frac jk}$，考虑一下如何从g转移到f

发现一个双射的关系，把连续段长度为1的画笔每次涂的第一个位置提出来，发现恰好对应$f_{i,j}=g_{i,i/j}$

所以直接记搜即可

T2

题目大意

1. 区间+
2. 求一段时间的某个区间的历史最值

solution

考虑一下朴素的线段树，然后每个节点维护一个单调栈，维护历史最值和时间戳(一段连续的上升只维护最后一次)，然后发现这样的话，懒标记要像历史最值一样多维护一个，然后每次查询在线段树节点的单调栈上二分即可

小细节就是上push_up和push_down是都要更新单调栈，然后在时间段的左端点上还要额外跑一次区间最值

2023.12.14

T1

题目大意

有一个全部为 $0$ 的序列，进行了 $m$ 次区间加 $1$ 操作，变成 $A$ 序列。现在可以撤销k次操作，变成 $B$ 序列，定义$B_i\le\dfrac{A_i}2$时有 $w_i$ 的贡献，问可以达到的最大贡献（$n\le1e4,m\le1e5,k\le\min(m,5)$）

solution

因为k比较小，所以我们发现A中大于等于10的我们都不用管了，我们考虑把区间操作都挂在点上，然后进行DP。设 $f_{i,j,s}$ 表示到第i位，用了j次撤销，对于当前点挂的区间的撤销状态为s，转移时，我们先把上一个 $f_{i-1}$ 转移到 $smx_i$ 上，使得两者共有的区间相对应，然后 $smx_i$ 内部再进行转移更新新的区间，再去转移 $f_i$

然后我们发现瓶颈在于 $smx_i$ 的内部转移，是 $O(n4^kk^2)$ 的。考虑如何优化掉，我们发现只用更新新的区间，所以就用vector把新的区间存下来，只更新新的区间即可，总时间复杂度: $O((n+m)4^kk)$

2023.12.15

T3

题目大意

给定一个网格图，上面有些障碍，我们要在某些点放宝箱，使得每一条从左上角到右下角的路径都有恰好一个宝箱，问摆放宝箱的方案数

solution

首先通过简单找规律可以发现，没有障碍时的答案为$n+m-1$ 这启发我们，宝箱是呈45度的斜线摆放，然后就考虑，宝箱和障碍一定把图分割开了

先把一定走不到的点统计出来，那里的宝箱可以任意摆放，然后就把平面图转对偶图

然后发现一点重边，再去重...

.png)

2023.12.19

T1

...

T2

网络流建模，然后缩点能过...

小tip，如果网络建模，可以先建INF边，然后就可以缩点了

2023.12.20

T1

题目大意

有长度为n的画布，有m种颜色，k条限制，每条都形如$[l,r]$，要求$[l,r]$中至少有一种颜色出现次数大于一次，问画布的方案数

solution

这是典型的容斥，和at_dp_y几乎是一个思想...

设$f_i$表示不满足i限制，但满足$1\sim i$限制的方案数，然后转移就是简单的容斥，总方案数-非法方案数

代表元容斥，非法方案就是$\sum_j^{i-1}w(j,i)f_j$，其中$w(j,i)$表示从$r_j$到$r_i$随便填，但要满足不满足i限制

可以发现就是分两种情况讨论即可

T2

题目大意

给定一棵树，你可以任选起点，每次移动要求移动到距离当前点最远的点，问移动k轮的方案数

solution

首先可以矩乘

可以发现，除了刚开始，其他时刻的位置一定是直径端点

考虑一个小tips，以树的中点为根，把直径端点当叶子，则根的第一代儿子的叶子个数相同的子树，里面叶子的答案都一样，于是就只有$\sqrt n$个状态，可以直接$矩乘$

2023.12.22

T1

结论题

2023.12.23

T1

T3