省选联考总结
2023.12.11
先调整状态，比赛好像不是很能做出题，每次都应该冲一道正解，然后暴力打满，争取高的部分分
T1
题目大意
有个大小为h的画布，大小为n的画笔，定义画笔为\(\{d_i,i\in[1,n-1]\}\)，表示可以在\(\{x,x+d_1,x+d_1+d_2...\}\)的位置涂颜色，要求每个位置都要涂恰好一次，且不能涂出界，问画笔有几种
sulotion
首先观察结论，若有\(d_i=1\)定义其为连续段，可以发现连续段之间的间隔一定要相等，才合法。然后连续段的大小也要相等，设其为x，那么间隔大小一定为x的倍数
考虑一下朴素dp，设\(f_{i,j}\)表示大小为i的画布，大小为j的画笔，连续段的大小为1的方案数，那么\(ans=\sum_{k|n}f_{\frac hk,\frac nk}\)，发现f转移需要容斥...，好像会T
然后考虑优化，设\(g_{i,j}\)表示大小为i的画布，大小为j的画笔，连续段大小大于1的方案数。然后转移\(g_{i,j}=\sum_{k|j}f_{\frac ik,\frac jk}\)，考虑一下如何从g转移到f
发现一个双射的关系，把连续段长度为1的画笔每次涂的第一个位置提出来，发现恰好对应\(f_{i,j}=g_{i,i/j}\)
所以直接记搜即可
T2
题目大意
- 区间+
- 求一段时间的某个区间的历史最值
solution
考虑一下朴素的线段树，然后每个节点维护一个单调栈，维护历史最值和时间戳(一段连续的上升只维护最后一次)，然后发现这样的话，懒标记要像历史最值一样多维护一个，然后每次查询在线段树节点的单调栈上二分即可
小细节就是上push_up和push_down是都要更新单调栈，然后在时间段的左端点上还要额外跑一次区间最值
2023.12.14
T1
题目大意
有一个全部为 \(0\) 的序列，进行了 \(m\) 次区间加 \(1\) 操作，变成 \(A\) 序列。现在可以撤销k次操作，变成 \(B\) 序列，定义\(B_i\le\dfrac{A_i}2\)时有 \(w_i\) 的贡献，问可以达到的最大贡献（\(n\le1e4,m\le1e5,k\le\min(m,5)\)）
solution
因为k比较小，所以我们发现A中大于等于10的我们都不用管了，我们考虑把区间操作都挂在点上，然后进行DP。设 \(f_{i,j,s}\) 表示到第i位，用了j次撤销，对于当前点挂的区间的撤销状态为s，转移时，我们先把上一个 \(f_{i-1}\) 转移到 \(smx_i\) 上，使得两者共有的区间相对应，然后 \(smx_i\) 内部再进行转移更新新的区间，再去转移 \(f_i\)
然后我们发现瓶颈在于 \(smx_i\) 的内部转移，是 \(O(n4^kk^2)\) 的。考虑如何优化掉，我们发现只用更新新的区间，所以就用vector把新的区间存下来，只更新新的区间即可，总时间复杂度: \(O((n+m)4^kk)\)
2023.12.15
T3
题目大意
给定一个网格图，上面有些障碍，我们要在某些点放宝箱，使得每一条从左上角到右下角的路径都有恰好一个宝箱，问摆放宝箱的方案数
solution
首先通过简单找规律可以发现，没有障碍时的答案为\(n+m-1\) 这启发我们，宝箱是呈45度的斜线摆放，然后就考虑，宝箱和障碍一定把图分割开了
先把一定走不到的点统计出来，那里的宝箱可以任意摆放，然后就把平面图转对偶图
然后发现一点重边，再去重...
.png)
2023.12.19
T1
...
T2
网络流建模，然后缩点能过...
小tip，如果网络建模，可以先建INF边，然后就可以缩点了
2023.12.20
T1
题目大意
有长度为n的画布，有m种颜色，k条限制，每条都形如\([l,r]\)，要求\([l,r]\)中至少有一种颜色出现次数大于一次，问画布的方案数
solution
这是典型的容斥，和at_dp_y几乎是一个思想...
设\(f_i\)表示不满足i限制，但满足\(1\sim i\)限制的方案数，然后转移就是简单的容斥，总方案数-非法方案数
代表元容斥，非法方案就是\(\sum_j^{i-1}w(j,i)f_j\)，其中\(w(j,i)\)表示从\(r_j\)到\(r_i\)随便填，但要满足不满足i限制
可以发现就是分两种情况讨论即可
T2
题目大意
给定一棵树，你可以任选起点，每次移动要求移动到距离当前点最远的点，问移动k轮的方案数
solution
首先可以矩乘
可以发现，除了刚开始，其他时刻的位置一定是直径端点
考虑一个小tips，以树的中点为根，把直径端点当叶子，则根的第一代儿子的叶子个数相同的子树，里面叶子的答案都一样，于是就只有\(\sqrt n\)个状态，可以直接\(矩乘\)
2023.12.22
T1
结论题
