杜教筛学习笔记

杜教筛

是求一个数论函数f的前缀和，令其为S

我们考虑构造一个数论函数g，根据 狄利克雷卷积

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(f * g)(i) & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{d \mid i}g(d)f\left(\frac{i}{d}\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right) \end{aligned}$$

可以推出

$$\begin{aligned} g(1)S(n) & = \sum_{i=1}^n g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right) - \sum_{i=2}^n g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right) \\ & = \sum_{i=1}^n (f * g)(i) - \sum_{i=2}^n g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right) \end{aligned}$$

所以我们只需快速求出$g$和$(f*g)$的前缀和，就可以快速求出S

然后时间复杂度不会证明，但直接打是$O(n^{\frac34})$，预处理前$O(n^{\frac23})$位前缀和是$O(n^{\frac23})$

预处理+外面套上数论分块也是$O(n^{\frac23})$

难点就是构造g函数，所以学习一下数论函数