最长不下降子序列nlogn做法及其拓展

最长不下降子序列nlogn做法及其扩展

前言&nlogn做法

LIS表示最长不下降子序列

考虑设$f_i$表示LIS长度为i的最小值（具有单调性），对于每个新的x，二分出最大的满足$f_i$小于等于x的位置w，更新w+1

还有一种单调栈理解法，假若已经维护了一个LIS在单调栈里，对于一个新的x，二分出最大的满足值小于等于x的位置w，更新w+1，可以证明不会影响答案（其实代码来说是一样的）

[P7931 [COCI2021-2022#1] Volontiranje

给定一个 $1\sim n$ 的排列 $p$，请从这里面取出尽可能多的不交的上升子序列，且他们的长度为原排列的 LIS 的长度，并构造一组方案。

考虑用二分找到LIS长度len，然后把把出现在$f_i$中的数字都压进一个栈里（先出现的在栈顶）

于是我们得到len个栈：

其中每个栈中的元素单调递减，且总数为n

然后考虑构造一个LIS就只能从每个栈中各选一个，可以想到先取栈顶，若合法就取下一个栈，否则就pop，直到全部的栈为空

可以发现一定能取出最多的LIS

石中剑的考验

给出1 ∼ n的一个排列的一个最长上升子序列（长度为k，$n\le15$），求原排列可能的种类数。

其中原排列合法的充要条件是：

1. 给出的子序列是原排列的子序列；

2. 原排列的最长上升子序列长度为k。

发现n比较小，考虑状压，根据我们nlogn的单调栈思想，设$f_{s}$，s是三进制，0/1/2表示未选/选了不在栈中/选了在栈中

然后n转移，跑不满