线性基学习笔记

线性基

preface

需要一点线性空间知识

1. 线性相关：在向量空间V的一组向量$A:a_1,a_2...a_m$ 如果存在不全为零的数 $k_1, k_2, ···,k_m$ , 使$\sum a_ik_i=0$则称向量组A是线性相关的，否则线性无关
2. 线性表出：在向量空间V的一组向量$A:a_1,a_2...a_m$ 如果存在一组实数 $k_1, k_2, ···,k_m$ , 使$\sum a_ik_i=b$，那么称b能被A线性表出

还有通俗的线性基的定义（其实线性基就是极大线性无关组，就是矩阵的秩）

1. 线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。
2. 线性基是满足性质1的最小的集合
3. 线性基没有异或和为0的子集。

贪心法&高斯消元

异或线性基

二进制下拆分数x，从高位向低位扫

若x再当前位为1，就判断当前位线性基是否有值，若有就把x的当前位消掉，否则就加入线性基

询问最大值时，直接从大往小扫一遍，若变大就更新

最小值就判断是否能为0，否则就输出线性基中最小值

void add(long long x){
	Fd(i,63,0) if((x>>i)&1){
		if(d[i]) x^=d[i];
		else{ d[i]=x;break; }
	}
}
long long ask(long long x){
	Fd(i,63,0) if((x^d[i])>x) x=x^d[i];
	return x;
}

实数线性基

和异或差不多，就是消掉当前位的操作要用高斯消元

例题

P4151 [WC2011] 最大XOR和路径

求1到n的最大XOR路径

我们考虑把路径拆成若干环和链，假如我们先选择了一个1到n的链，我们可以找一个环拓展，具体来说，就是通过一条链到环，再遍历一遍环，再从链回来，于是发现链走了两次，就等价于只走了一个环

所以就是找到全部环（其实就是返祖边对应的环），放进线性基里，然后随便找个1到n的链询问

什么是对的？

1. 随便的链如果不优，一定会被某个环更新
2. 返祖边对应的环，通过一些重集可以搞出全部的环