二阶线性递推数列
二阶线性递推数列
\[a_i=pa_{i-1}+qa_{i-2}
\]
\[a_i-x_1a_{i-1}=x_2(a_{i-1}-x_1a_{i-2})
\]
\[a_i-x_1a_{i-1}=x_2^{i-1}(a_1-x_1a_o)
\]
\[a_i=(x_1+x_2)a_{i-1}-x_1x_2a_{i-2}
\]
\[p=x_1+x_2,q=-x_1x_2
\]
根据韦达，\(x_1,x_2\)为方程\(x^2-px-q=0\)的两根
由于\(x_1,x_2\)可互换
\[a_i-x_1a_{i-1}=x_2^{i-1}(a_1-x_1a_o)
\]
\[a_i-x_2a_{i-1}=x_1^{i-1}(a_1-x_2a_o)
\]
两式相减
\[a_{i-1}=\frac{(a_1-x_2a_o)}{x_1-x_2}x_1^{i-1}+\frac{(a_1-x_1a_o)}{x_1-x_2}x_2^{i-1}
\]
即为
\[a_{n}=\frac{(a_1-x_2a_o)}{x_1-x_2}x_1^{n}+\frac{(a_1-x_1a_o)}{x_1-x_2}x_2^{n}
\]
可知为等比+等比数列即可用待定系数法，设
\[a_n=\alpha x_1^n+\beta x_2^n
\]
若\(x_1=x_2\),则用
\[a_n=(\alpha+\beta n)x^n
\]
