莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演

目录

• 莫比乌斯反演
  • 反演公式&性质
  • 例题
    • [HAOI2011]Problem b
    • YY的GCD
    • 于神之怒加强版
    • Crash的数字表格/JZPTAB
    • [SDOI2014]数表
    • [SDOI2015]约数个数和

反演公式&性质

$$f(n)=\sum_{d|n}g(d)\\ g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac nd)$$

感觉我不太会用上面那个

我只会用莫比乌斯函数的性质

$$\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n=1\\0&n\ne 1\end{cases} 或者 \sum_{d|n}\mu(d)=(n==1)$$

然后特殊的

$$\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)=(gcd(a,b)==1)$$

例题

然后直接上例题

[HAOI2011]Problem b

化简题意求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)==k)$，要求$\sqrt n$求出

$$\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor}(gcd(i,j)==1)$$

直接套上面的性质：

$$=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor}\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)$$

然后设$i=di',j=dj'(d=gcd(i,j))$

$$=\sum_{d=1}^{\frac{n}{k}}\mu(d)\sum_{i'=1}^{\frac{n}{kd}}\sum_{j'=1}^{\frac{m}{kd}}1$$

$$=\sum_{d=1}^{\frac{n}{k}}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{kd} \right \rfloor$$

然后熟悉的式子，可以数论分块

所以记住一条式子方便推：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)==1)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$$

YY的GCD

求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)\in P)$，P指素数集，要求$\sqrt n$求出

$$\sum_{p\in P}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)==p)$$

$$=\sum_{p\in P}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}(gcd(i,j)==1)$$

$$=\sum_{p\in P}\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{pd} \right \rfloor$$

令T=pd

$$=\sum_{T=1}^n\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor\sum_{p|T,p\in P}\mu(\frac Tp)$$

$\sum_{p|T,p\in P}\mu(\frac Tp)$用线性筛处理，然后还是数论分块

于神之怒加强版

求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k$，要求$\sqrt n$求出

$$\sum_{x=1}^n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)==x)x^k$$

$$=\sum_{x=1}^n\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{dx} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dx} \right \rfloor x^k$$

令T=dx

$$=\sum_{T=1}^n\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor \sum_{d|T}\mu(\frac Td)x^k$$

$\sum_{d|T}\mu(\frac Td)x^k$用线性筛处理，然后还是数论分块

Crash的数字表格/JZPTAB

求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$，要求$O(n)$求出

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}$$

$$=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)==k)\frac{ij}{k}$$

然后设$i=di',j=dj'(d=gcd(i,j))$

$$=\sum_{k=1}^n\sum_{i'=1}^{\frac nk}\sum_{j'=1}^{\frac mk}(gcd(i,j)==1)i'j'k$$

化简得

$$=\sum_{k=1}^nk\sum_{d=1}^{\frac{n}{k}}\mu(d)d^2\sum_{i=1}^{\frac{n}{kd}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{kd}}ij$$

设$g(n,m)=sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mij$然后注意到

$$g(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mij=\frac{(n+1)n}{2}·\frac{(m+1)m}{2}$$

原式=

$$\sum_{k=1}^nk\sum_{d=1}^{\frac{n}{k}}\mu(d)d^2g(\frac n{kd},\frac m{kd})$$

维护$f(k)=\sum_{d=1}^{\frac{n}{k}}\mu(d)d^2g(\frac n{kd},\frac m{kd})$即可

[SDOI2014]数表

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mg(gcd(i,j))$$

$设x=\Pi p_i^{k_i},g(x)=\Pi(k_i+1)$即表示x的因数个数

$$=\sum_{x=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)==x)g(x)$$

$$=\sum_{x=1}^ng(x)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor}(gcd(i,j)==1)$$

$$=\sum_{x=1}^ng(x)\sum_{d=1}^{\frac{n}{x}}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{xd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{xd} \right \rfloor$$

设T=xd

$$=\sum_{T=1}^n\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor \sum_{d|T}\mu(d)g(\frac Td)$$

然后就是预处理$\sum_{d|T}\mu(d)g(\frac Td)$

[SDOI2015]约数个数和

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mg(ij)$$

$设x=\Pi p_i^{k_i},g(x)=\Pi(k_i+1)$即表示x的因数个数

首先要知道一个式子：$d(ij)=\sum\limits_{x\mid i}\sum\limits_{y\mid j} [\gcd(x,y)=1]$