图论

目录

图论

树

LCA

树链剖分，倍增

tarjan，欧拉序列转化为 RMQ 问题

树链剖分

重链，长链

树上启发式合并

重儿子的信息保留，轻儿子的暴力

虚树

把一棵树取出一部分节点建一棵虚树

  • 将关键点按 DFS 序排序；
  • 遍历一遍，任意两个相邻的关键点求一下 LCA，并且判重；
  • 枚举相邻的两个点编号 x,y，求得它们的 lca 并且连接 lca,y

然后就建完了，节点数小于等于2k

树分治

点分治（淀粉质）

应该是解决树上的路径统计（点对...）等类型

直接从版题开始

题目大意是给定大小为n的树，给m个询问k，求树上是否有两点距离为k

首先点分治的本质：对于一个根节点，只有两种路径，过这个点的，和不过的

然后就先处理过这个点的，然后递归处理每个子树

这时注意，每次选树的重心，时间复杂度就可以达到稳定\(O(n\log n)\)

然后考虑本题，我们要做的就变成了过一个点的路径是否有距离为k(所以要注意判选的两个点不能再同个子树)

点分树

就是点分治后的树，满足深度小于等于logn

解法1

用时间复杂度为\(O(n\log^2n+nmlogn)\)的算法

首先扫出子树到该点的距离，理论上要算\(n\log n\)次（就是时间复杂度）

然后排序，对于每个k，两个指针l,r从两边扫，可以得出答案

解法2

用时间复杂度为\(O(n\log n+nmlogn)\)的算法

直接用桶记录，枚举m和子树大小

Kruskal 重构树

题前话：

瓶颈生成树=>最小生成树

最小瓶颈路=>在最小生成树上

次小生成树=>先最小生成树，再枚举非树边，在环上找最大值，mlogn

正题：

在跑 Kruskal 的过程中我们会从小到大加入若干条边，每次加边，新建一个节点，并把两个点的根作为其左右儿子，于是得到节点数2n-1，叶子数n，非叶子节点均有2个儿子

性质：原图中两个点之间的所有简单路径上最大边权的最小值 = 最小生成树上两个点之间的简单路径上的最大值 = Kruskal 重构树上两点之间的 LCA 的权值。

树分块

在树上随机撒\(\sqrt n\)个点，然后每个点向上跳到关键点或根的距离期望是\(\sqrt n\)

然后如果有需要建虚树，可以使得每个点都有前驱和后继

联通性

强连通分量

有向图中两两之间可以相互到达的点集

用tarjan找，若dfn[o]=low[o]就找到环，栈顶到o的点即为scc

缩点

把一个scc染成一个颜色

可以把有向图转为有向无环图，然后拓扑

双连通分量

边双：删去任意一边，图仍联通（有传递性）

点双：删去任意一点，图仍联通

用差分求一下

割点和桥

割点：删去该点后图不连通

桥：删去该边后图不连通

tarjan求一下

圆方树（广义圆方树）

圆方树是个好东西

顾名思义，就是一颗只有圆点（原点）和方点的树

建立它的方法就是将点双中的点全部连向一个方点，然后剪完图后把原边给删掉

然后就会有一些非常奇妙的性质：

  • 每条边连接一个圆点和方点
  • 建出来的图是棵树

然后还有一个点双很奇gay的性质

点双上任意两点的简单路径并等于点双的全集

设方点维护与之相邻的圆点权值，那么方点圆方树上

圆方树上任意两点的简单路径并等于路径上点双的全集，也就是路径上方点的贡献

然后它就非常适合解决简单路径的min,max之类的问题，直接树剖+线段树+lca

但是如果加入修改怎么办呢？暴力修改圆点相邻的方点可能是O（N^2）

然后就有个合理的设想，每个方点只维护它的儿子圆点，于是就只用修改圆点的父亲方点了

查询时就注意lca是方点要加上它父亲圆点的贡献

然后下面这道例题还要用multiset维护方点相邻圆点的权值，以保证方点的最小

哈密顿图

  • 哈密顿通路：通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。

  • 哈密顿回路：通过图中所有顶点一次且仅一次的回路。

  • 哈密顿图：具有哈密顿回路的图。

  • 半哈密顿图：具有哈密顿通路而不具有哈密顿回路的图。

  1. 若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图；
  2. 若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。

欧拉图

定义

  • 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路

  • 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路

  • 欧拉图：具有欧拉回路的图

  • 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图欧拉图（欧拉通路&欧拉回路）

判定

1.对于无向图,所有边都是连通的

(1) 存在欧拉路径的充分必要条件: 度数为奇数的点只能是0或者2个(0个为欧拉回路的情况)

(2) 存在欧拉回路的充分必要条件: 度数为奇数的点只能有0个

2.对于有向图,所有边都是连通的

(1) 存在欧拉路径的充分必要条件: 要么所有点出度均等于入度(欧拉回路情况);要么除了两个点之外,其余点的出度等于入度,剩余的两个点:一个满足出度比入度多1(起点),另一个满足入度比出度多1(终点)

(2) 存在欧拉回路的充分必要条件: 所有点的出度均等于入度

性质

非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若\(G\)是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

寻找方法

1 记录点的情形

void dfs(int x)
    对于从x出发的每条边(x, y)
        如果该边没有被访问过
            把这条边删去
            dfs(y)
    把x入栈

main()
    dfs(1)
    倒序输出栈中所有的节点

2 记录边的情形

void dfs(int x)
    对于从x出发的每条边i(x, y)
        如果该边没有被访问过
            把这条边删去
            dfs(y)
            把边i入栈
main()
    dfs(1)
    倒序输出栈中所有的边

竞赛图

即有向完全图，满足一些有趣的性质

  • 一定存在一条哈密顿通路

证明：考虑归纳法和反证法

首先n=1时成立，若n-1成立，一定有哈密顿通路，把它提出变成链

加入一个点n，那么链上每个点与n连一条边，若n->x则为1，若x->n则为0

若不存在哈密顿通路，则链头为0，链尾为1，且链上不能出现01（因为这样n可以加入链中），可以发现矛盾，证毕

  • 每一个scc都为哈密顿图

证明：强连通的竞赛图是哈密顿图

  • 缩点后是条链

证明：因为存在一条哈密顿路径，所以缩点一定是路径上连续的一段，因此缩完之后还是一条链。

  • 若x的出度大于y，则x一定能走到y

证明：缩点后拓扑

若在一个scc中，一定成立

否则出度大的拓扑序一定小，再根据缩点后是条链，成立

兰道定理

将x->y视为x打赢y，那么竞赛图中点的出度即为比赛胜场，设为s

那么s序列合法的充要条件为

\[k\in(1,n)\sum_{i=1}^ks_i\ge\binom{k}{2} \]

当k=n时取等

拓展：当胜利+2，平局各+1，失败+0时，把上面定理中\(\binom{k}{2}\)乘2即可

三元环计数

考虑算非三元环

\[num=\binom{n}{3}-\sum_{i=1}^n\binom{d_i}{2} \]

找三元环

我们知道一个竞赛图如果存在一个环，那么它一定存在一个三元环。
所以直接dfs就行了。

三元环期望

就是 \(n\) 个点的竞赛图给定了 \(m\) 条边的方向，剩下的方向都不确定，求期望三元环个数。

这里我们先计算出确定的出度g以及入度d。然后记\(u_i\)表示\(n-1-d_i-g_i\)即某个点连出去的未确定方向的边数。

那么根计数的公式，得到：

\[num=\binom{n}{3}-\sum_{i=1}^n\binom{d_i}{2}+\frac{d_iu_i}{2}+\frac{\binom{u_i}{2}}{4} \]

posted @ 2024-02-22 20:47  zhy_learn  阅读(5)  评论(0)  编辑  收藏  举报