DTW和DBA

DTW（动态时间调整）

动态时间调整算法是大多用于检测两条语音的相似程度，由于每次发言，每个字母发音的长短不同，会导致两条语音不会完全的吻合，动态时间调整算法，会对语音进行拉伸或者压缩，使得它们竟可能的对齐。

如上图红圈标注的位置，可以发现下面那条线中有许多的点与之对应，如果换成一个个离散的点表示的话，实际上是对上一条曲线该点进行了拉伸处理，使得它们最大化对齐。

最近在研究时间序列的问题，时间序列类似这个。假如我想计算两条天气的时间序列是否相似，由于时间序列有的时候会出现延迟的现象，导致两条时间序列吻合的不好，可以通过这样的方法来准确的计算。

这个算法的实现和动态规划十分相似。

为了对齐这两个序列，我们需要构造一个n x m的矩阵网格，矩阵元素(i, j)表示q_i和c_j两个点的距离d(q_i, c_j)（也就是序列Q的每一个点和C的每一个点之间的相似度，距离越小则相似度越高。这里先不管顺序），一般采用欧式距离，d(q_i, c_j)= (q_i-c_j)²（也可以理解为失真度）。每一个矩阵元素(i, j)表示点q_i和c_j的对齐。DP算法可以归结为寻找一条通过此网格中若干格点的路径，路径通过的格点即为两个序列进行计算的对齐的点。

那么这条路径我们怎么找到呢？那条路径才是最好的呢？也就是刚才那个问题，怎么样的warping才是最好的。

注明：两个序列长度不同，不能使用欧氏距离进行匹配。使用dtw时，上图方格中的每个连续的点（开头（1，1）和结尾（m，n）还是要保证的）构成的曲线都有可能，这是就要找出代价最小的那条曲线，如图中标出的黑色曲线。

我们把这条路径定义为warping path规整路径，并用W来表示， W的第k个元素定义为w_k=(i,j)_k，定义了序列Q和C的映射。这样我们有：

首先，这条路径不是随意选择的，需要满足以下几个约束：

1）边界条件：w₁=(1, 1)和w_K=(m, n)。任何一种语音的发音快慢都有可能变化，但是其各部分的先后次序不可能改变，因此所选的路径必定是从左下角出发，在右上角结束。

2）连续性：如果w_k-1= (a’, b’)，那么对于路径的下一个点w_k=(a, b)需要满足 (a-a’) <=1和 (b-b’) <=1。也就是不可能跨过某个点去匹配，只能和自己相邻的点对齐。这样可以保证Q和C中的每个坐标都在W中出现。

3）单调性：如果w_k-1= (a’, b’)，那么对于路径的下一个点w_k=(a, b)需要满足0<=(a-a’)和0<= (b-b’)。这限制W上面的点必须是随着时间单调进行的。以保证图B中的虚线不会相交。

结合连续性和单调性约束，每一个格点的路径就只有三个方向了。例如如果路径已经通过了格点(i, j)，那么下一个通过的格点只可能是下列三种情况之一：(i+1, j)，(i, j+1)或者(i+1, j+1)。

满足上面这些约束条件的路径可以有指数个，然后我们感兴趣的是使得下面的规整代价最小的路径：

分母中的K主要是用来对不同的长度的规整路径做补偿。我们的目的是什么？或者说DTW的思想是什么？是把两个时间序列进行延伸和缩短，来得到两个时间序列性距离最短也就是最相似的那一个warping，这个最短的距离也就是这两个时间序列的最后的距离度量。在这里，我们要做的就是选择一个路径，使得最后得到的总的距离最小。

这里我们定义一个累加距离cumulative distances。从(0, 0)点开始匹配这两个序列Q和C，每到一个点，之前所有的点计算的距离都会累加。到达终点(n, m)后，这个累积距离就是我们上面说的最后的总的距离，也就是序列Q和C的相似度。

累积距离γ(i,j)可以按下面的方式表示，累积距离γ(i,j)为当前格点距离d(i,j)，也就是点q_i和c_j的欧式距离（相似性）与可以到达该点的最小的邻近元素的累积距离之和：

注明：先把模板序列和测试序列的每个点相对应的距离算出来，构成一个m xn的矩阵。然后根据每个元素的代价计算一条最短路径。这里的计算要符合以上三个约束。即，一个点的代价=这个点的值+来自min{下、左、斜下这三个方向的值}。下、左、斜下这三个方向的值可以依次递归求得，直到（1，1）点

3 例子

这个例子中假设标准模板R为字母ABCDEF(6个)，测试模板T为1234(4个)。R和T中各元素之间的距离已经给出。如下：

既然是模板匹配，所以各分量的先后匹配顺序已经确定了，虽然不是一一对应的。现在题目的目的是要计算出测试模板T和标准模板R之间的距离。因为2个模板的长度不同，所以其对应匹配的关系有很多种，我们需要找出其中距离最短的那条匹配路径。现假设题目满足如下的约束：当从一个方格((i-1,j-1)或者 (i-1,j)或者(i,j-1))中到下一个方格(i,j)，如果是横着或者竖着的话其距离为d(i,j)，如果是斜着对角线过来的则是 2d(i,j).其约束条件如下图像所示：

其中g(i,j)表示2个模板都从起始分量逐次匹配，已经到了M中的i分量和T中的j分量，并且匹配到此步是2个模板之间的距离。并且都是在前一次匹配的结果上加d(i,j)或者2d(i,j),然后取最小值。

所以我们将所有的匹配步骤标注后如下：

怎么得来的呢？比如说g(1,1)=4, 当然前提都假设是g(0,0)=0,就是说g(1,1)=g(0,0)+2d(1,1)=0+2*2=4.

g(2,2)=9是一样的道理。首先如果从g(1,2)来算的话是g(2,2)=g(1,2)+d(2,2)=5+4=9,因为是竖着上去的。

如果从g(2,1)来算的话是g(2,2)=g(2,1)+d(2,2)=7+4=11,因为是横着往右走的。

如果从g(1,1)来算的话，g(2,2)=g(1,1)+2*d(2,2)=4+2*4=12.因为是斜着过去的。

综上所述，取最小值为9. 所有g(2,2)=9.

当然在这之前要计算出g(1,1),g(2,1),g(1,2).因此计算g(I,j)也是有一定顺序的。

其基本顺序可以体现在如下：

计算了第一排，其中每一个红色的箭头表示最小值来源的那个方向。当计算了第二排后的结果如下：

最后都算完了的结果如下：

到此为止，我们已经得到了答案，即2个模板直接的距离为26. 我们还可以通过回溯找到最短距离的路径，通过箭头方向反推回去。如下所示：

注明：不管哪个方向，我都只加上了其本身的数值，即d（i j），没有x2.得出的路径是一样的。

PYTHON代码一个简单的例子

import numpy as np

# We define two sequences x, y as numpy array
# where y is actually a sub-sequence from x
x = np.array([2, 0, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 0]).reshape(-1, 1)
y = np.array([1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 0]).reshape(-1, 1)

from dtw import dtw

euclidean_norm = lambda x, y: np.abs(x - y)

d, cost_matrix, acc_cost_matrix, path = dtw(x, y, dist=euclidean_norm)

print(d)
>>> 0.1111111111111111 # Only the cost for the insertions is kept

# You can also visualise the accumulated cost and the shortest path
import matplotlib.pyplot as plt

plt.imshow(acc_cost_matrix.T, origin='lower', cmap='gray', interpolation='nearest')
plt.plot(path[0], path[1], 'w')
plt.show()