Fibonacci 数列第 N项 O(logN）算法

时间复杂度为O( log n )的方法：

 该算法使用矩阵乘法操作，使得算法时间复杂度为 O（logN）

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
long long Fibonacci( unsigned n )   
{   
      int result[2] = {0, 1};   
      if(n < 2)   
            return result[n];   
 
      long long   fibOne = 0;   
      long long   fibTwo = 1;   
      long long   fibThree ;   
     
      for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)   
       {   
             fibThree = fibOne + fibTwo;   
  　　　　fibOne = fibTwo ;   
             fibNTwo = fibThree;   
        }   
        return fibThree;   
}
  
 
/*
下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法:
 
对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义:
 
F( n ) = F( n-1 ) + F( n-2 )
F( 1 ) = 1
F( 2 ) = 1
 
矩阵形式：
 
[ F( n+1 ) ,  F( n ) ] = [ F( n ) , F( n-1 ) ] * Q  其中 [ F( n+1 ) ,  F( n ) ]为行向量，Q = { [ 1, 1 ]; [ 1, 0 ] }为矩阵
 
则 [ F( n+1 ) , F( n ) ]=[ 1 , 0 ] * Qn , 
*/struct Matrix    
{          
       long long m_00, m_01, m_10, m_11;   
　　 Matrix ( long long m00 = 0,  long long m01 = 0,  long long m10 = 0,   long long m11 = 0 )    
       :m_00( m00 ), m_01( m01 ), m_10( m10 ), m_11( m11 )     
       {    
       }    
};
  
 
Matrix MatrixMultiply (  const Matrix & m1, const Matrix & m2    ）    
{  
　　long long m00 = m1.m_00 * m2.m_00 + m1.m_01 * m2.m_10;
　　long long m01 = m1.m_00 * m2.m_01 + m1.m_01 * m2.m_11; 
　　long long m10 = m1.m_10 * m2.m_00 + m1.m_11 * m2.m_10    
　　long long m11 = m1.m_10 * m2.m_01 + m1.m_11 * m2.m_11; 
      return Matrix ( m00,  m01,  m10, m11 );    
}
 
Matrix MatrixPower( unsigned int n )    
{    
       assert(n > 0);    
       Matrix m;    
       if( n == 1)    
       {    
             m = Matrix(1, 1, 1, 0);    
       }    
      else if(n % 2 == 0)    
       {    
             m = MatrixPower( n / 2 );    
             m = MatrixMultiply( matrix, matrix );    
       }    
      else if( n % 2 == 1 )    
       {    
             m = MatrixPower( (n - 1) / 2 );    
             m = MatrixMultiply( m, m );    
             m = MatrixMultiply( m, Matrix( 1, 1, 1, 0 ) );    
       }     
      return m;    
}  
long long Fibonacci( unsigned int n )
{
      int result[2] = { 0, 1 };
      if( n < 2 )
            return result[ n ];
 
      Matrix Q = MatrixPower( n - 1 );　　//注意：按定义式应该用[ 1, 0 ]*Q, 或者等价于{ [ 1 , 0 ]; [ 0, 0 ] }*Q, 但是因为显然结果相同，所以略去这一步。return Q.m_00;
}

牛客网答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int result[2]={0,1};
        if(n<2)return result[n];
        Matrix m;
        return m.Power(n-1).a00;
    }
    class Matrix{
          
    public:
        long int a00;
        long int a01;
        long int a10;
        long int a11;
        Matrix (long int a,long int b,long int c,long int d){
            a00=a;
            a01=b;
            a10=c;
            a11=d;
        }
        Matrix (){
            a00=1;a01=1;a10=1;a11=0;
        }
        Matrix operator * (Matrix & m2){
            long int b00 = a00 * m2.a00 + a01 * m2.a10;
            long int b01 = a00 * m2.a01 + a01 * m2.a11;
            long int b10 = a10 * m2.a00 + a11 * m2.a10;   
            long int b11 = a10 * m2.a01 + a11 * m2.a11;
            return Matrix(b00,b01,b10,b11);
        }
        Matrix Power( unsigned int n )   
        {   
               Matrix m;   
               if( n == 1)   
               {   
                     m = Matrix(1, 1, 1, 0);   
               }   
              else if(n % 2 == 0)   
               {   
                     m = Power( n / 2 );   
                     m = m*m;   
               }   
              else if( n % 2 == 1 )   
               {   
                     m = Power( (n - 1) / 2 );   
                     m = m*m; 
                     Matrix tmp;
                     m = m*tmp ;   
               }    
              return m;   
        } 
       };     
};




posted @ 2016-03-16 20:20  copperface  阅读(750)  评论(0)  编辑  收藏  举报