深入理解原码，反码，补码的原理

预备知识

二进制，十六进制，二进制与十进制的转化运算

根据冯诺依曼结构的运算器，只有加法运算器，没有减法运算器

所以，计算机中不是直接做减法，是通过加法来实现的。所以就必须引入一个符号位

原码，反码，补码 的产生就是为了解决这个问题

原码

最简单的机器数表示法

原码：

最高位表示符号位，1表示负，0表示正

其他位存放该数的二进制的绝对值

直接用原码运算

0001+0010=0011    （1+2=3）正确
0000+1000=1000    （(+0)+(-0)=-0）
0001+1001=1010    （1+（-1）=-2）出错
1001+1001= ？

原码正数之间的加法通常不会出错

正数与负数相加，或负数与负数相加，问题就出现了

所以，原码直观易懂，易于正值转换，但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂，于是反码来了

反码

原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零，反码的设计思想就是为了解决这一点

反码：

正数的反码=原码

负数的反码=原码除符号位外，按位取反

我们试着用反码运算

0001+1110=1111 (1+(-1)=(-0))  有点问题，也正确
1110+1101=1011 (-1)+(-2)=(-4) 两个负数相加，出错

负数相加出错，问题不大，我们只需要在两个负数相加时，将两个负数反码包括符号位全部按位取反相加，然后再给他的符号位强置‘1’就可以了。

反码表示法其实已经解决了减法的问题，他不仅不会像原码那样出现两个相反数相加不为零的情况，而且对于任意的一个正数加负数，计算结果是正确的

然后就有了补码

补码

补码：

正数的补码=原码

负数的补码=反码+1

负数的补码的另外一种算法:

自低位向高位，尾数第一个1及其右部的0保持不变，左部取反，符号位不变

其实上面两段话，都只是补码的求法，而不是补码的定义，基础工作者并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码，只不过是补码正好就等于反码加1罢了

暂时先忘记书上那句负数的补码等于它的反码+1，我们的理解陷入了误区

这也是为什么《计算机组成原理》要特意先讲补码，再讲反码

接下来我们要重点讲讲补码的思想

补码的思想

为了理解，先得引入模和同余的思想

模 其实就是一个计量器的容量大小，比如钟表的模M=12

同余 是指两个整数A和B除以同一个正整数M，所得余数相同，比如1点和13点，2点和14点就是同余的，可以写作

1 = 13 mod (12), 2 = 14 mod (12)

如果说现在时针现在停在10点钟，那么什么时候时针会停在8点钟呢？

这么说吧，因为过去2个小时前是8点，所以未来10个小时候也是8点

也就是说：倒拨2小时 或 正拨10小时 都是八点钟

10-2=8,(10+10)mod(12)=8

所以，10-2和10+10从另一个角度来看是等效的，它都使时针指向了8点钟

既然是等效的，那在时钟运算中，减去一个数，其实就相当于加上另外一个数（这个数与减数相加正好等于12，也就是同余数）

我再次强调，原码，反码，补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码，反码表示法中，我们把减法化为加法的思维是减去一个数，等于加上一个数的相反数，结果由于引入符号位造成了各种问题

那你应该知道我要说什么了，利用模和同余的概念，我们可以使减法运算转化为加法运算

而现在，我们不引入负数的概念，就可以把减法当成加法来算

所以接下来我们聊4位二进制数的运算，也不必急于引入符号位。因为补码的思想，把减法当成加法时并不是必须要引入符号位的。

而且我们可以通过下面的例子，也许能回答另一个问题，为什么负数的符号位是‘1’，而不是正数的符号位是‘1’

四位二进制补码运算实例

0110 - 0010 (6-2=4) 计算机中没有减法器,不能直接算

但是现在你知道，减去一个数，可以等同于加上另外一个正数（同余数）

那么这个数是什么呢？时钟运算中我们可以看出这个数与减数相加正好等于模M=12

四位二进制数的模(计量器)=四位二进制数最大容量=2^4=16=10000B

那么2(0010)的同余数，就等于10000-0010=1110（14）

既然如此

0110(6) - 0010(2) = 0110(6) + 1110(14) = 10100(16+4=20)

OK，我们看到按照这种算法得出的结果是10100，但是对于四位二进制数，最大只能存放4位（硬件决定），正好是0100(4)，就是我们想要的结果，至于最高位的 1，计算机会把他放入psw寄存器进位位中。8位机则会放在cy中，x86会放在cf中（不作讨论）

这个时候，我们再想想在四位二进制数中，减去2，就相当于加上它的同余数14

但是减去2，从另外一个角度来说，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其实得到的二进制结果除了进位位，结果是一样的。

如果我们把1110（14）的最高位看作符号位后就是（-2）的补码，这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’，

而且在有符号位的四位二进制数中，能表示的只有‘-8~7’，而无符号位数（14）的作用和有符号数（-2）的作用效果其实是一样的。

那正数的补码呢？加上一个正数，加法器就直接可以实现。所以它的补码就还是它本身。

到这里，我们发现原码，反码的问题，补码基本解决了。

做减法时，0001（1）+1111（-1）=0000，我们再也不需要一个1000来表示负0了，就把1000规定为-8

负数与负数相加的问题也解决了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)

为什么可以+1

然后我们再来看看为什么负数的补码的求法为什么是反码+1

因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111，再加1，就是1000，也就是四位二进数的模

而负数的补码是它的绝对值的同余数，可以通过模减去负数的绝对值，得到他的补码。

所以，负数的补码就是它的反码+1

算补码的小技巧

如果我们把-8当成负数的原点。那么-5的补码是多少呢？

-5 = -8 + 3

-5的补码就是-8的补码加3

1000(-8) + 0011(3) = 1011(-5)

也可以记住-1的补码是1111口算减法得出

1111(-1) - 0100(4) = 1011(-5)

对于八位加法器的话，可以把-128当补码原点。十六位可以把-32768当补码原点。

是的，128是256（八位二进制数的模）的一半，32768是65536（十六位二进数的模）的一半

也很方便有没有，而且简单的是

补码原点总是最高位是‘1’，其他位是‘0’

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