二分查找算法详解

前言

最近刷了很多二分查找相关的题目，这里将近期的收获做一个总结，包括二分查找的变形问题。如果能掌握，我相信以后基本上二分查找相关的问题对你来说，都不是问题。

二分查找的效率

二分查找是啥我想不用过多的说明。我们都知道二分查找的时间复杂程度是O(logN)。

O(logn) 查找速度有多快呢？我们来分析一下。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

就因为这种特性，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

简单的二分查找

简单的二分查找我想大家应该都写过。但是想一次将二分查找写对估计10个人里面只有1个人能做到。下面给出题目和代码，我们具体来分析一下。

题目：在有序的数组a里，找到某个指定的数据value。

public int bsearch(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

上诉代码可以作为一个二分查找的模板代码，我相信你能轻易的看懂这段代码。这里需要强调几个容易出错的地方：

1.循环退出条件：

注意是low<=high，而不是 low

2.mid 的取值：

实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

二分查找的变形

上面这种简单的二分查找大家基本上都会写，需要注意的就是几个容易出错的地方。争取这种简单的二分查找都是一次性通过。

我们平常很少会写这种简单的二分查找，这里我给出几种常见的变形的二分查找算法。我们来观察其通用性，掌握其技巧。

1. 题目：查找第一个值等于给定值的元素
例子：a:[1,3,4,5,6,,6,6,7,8],value:6。那么需要定位到下标为4的元素


public int bsearch(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1 - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

仔细看看上诉算法中，与之前的简单的二分查区别在哪里？

我们来分析一下。首先我们还是按照简单的二分查找来算。当找到指定值的时候我们不能直接放回结果。需要再判断一下，左边的元素与自身是否相同。不相同则返回结果。否则继续二分。

2. 题目：查找第一个大于等于给定值的元素
例子：a:[3,4,6,7,10] 如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6

public int bsearch(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1 - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。

对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。

如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。

如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。

总结

要想写好二分查找，首先我们必须保证充分理解最简单的二分查找算法。不熟悉的话多写几遍。

当遇到变形的二分查找。我们需要改动简单的二分查找代码。改动的点就在a[mid]与value的对比上加上相应的条件。

上面的两道变形的算法如果你多做几遍一定会有自己的体会。

最后，需要特别主义的还是那三个特别容易出错的地方：