[CTSC1997]选课 | 树形背包&多叉树转二叉树

题目描述

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有 \(N\) 门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程 \(a\) 是课程 \(b\) 的先修课即只有学完了课程 \(a\)，才能学习课程 \(b\)）。一个学生要从这些课程里选择 \(M\) 门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

输入格式

第一行有两个整数 \(N,M\) 用空格隔开。( \(1 \leq N \leq 3001≤N≤300 , 1 \leq M \leq 3001≤M≤300\) )

接下来的 \(N\) 行,第 \(I+1\) 行包含两个整数 \(k_i\) 和 \(s_i, k_i\)

\(k_i\) 表示第 \(i\) 门课的直接先修课，\(s_i\) 表示第 \(i\) 门课的学分。若 \(k_i=0\) 表示没有直接先修课\(（1 \leq {k_i} \leq N, 1 \leq {s_i} \leq 20）\)。

输出格式

只有一行，选 \(M\) 门课程的最大得分。

样例

输入 #1

7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2

输出 #1

13

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解法一：树形背包DP

由于课程间的拓扑关系，组成的树是一颗 DAG 树，很适合进行动态规划。

令 \(dp[i][j][k]\) 为在以节点 \(i\) 为根的子树中，前 \(j\) 个节点（自己为第一个），包括 \(i\) 自己共选 \(m\) 课的最大学分

此时节点 \(i\) 和它的第一层子节点一起构成了一个一维背包

同背包 DP 一样，中间的 \(j\) 可以由滚动数组优化掉，第一重循环需要倒序一下，第二重循环则不需要考虑顺序问题

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 307
using namespace std;
int n,m;
int s[MAXN],f[MAXN][MAXN];
vector<int> G[MAXN];
void Tree(int u) {
        // 此时节点 u 和它的第一层子节点一起构成了一个一维背包
	f[u][1]=s[u]; 
	for (int k=0;k<(int)G[u].size();k++) {
		int v=G[u][k]; Tree(v);
		for (int i=m;i>=1;i--) // 滚动数组优化后需要倒序
			for (int j=0;j<=i-1;j++) // 这个循环不需要考虑顺序问题
				f[u][i]=max(f[u][i],f[v][j]+f[u][i-j]); 
	}
}
int main() {
	memset(f,0,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		int k; scanf("%d%d",&k,&s[i]);
		G[k].push_back(i);
	}
	m++,Tree(0); // 注意加入了 0 号节点后 m 要 + 1
	printf("%d",f[0][m]);
	return 0;
} 

解法二：多叉树转二叉树后DP

如果不想在一棵树上做背包，也可以使用多叉树转成二叉树的方法，这样只要确定分配给左节点的值就可以推断出分配给右节点的值了

多叉树转二叉树的大致思想是：左儿子，右兄弟

在本题中，原先的兄弟可能变成了右儿子，而这些兄弟在原拓扑关系中是平级的，也就是说当前节点直接可以继承右节点的值，不需要自取（同时左节点也不能取）

对于左节点能取的情况，当前节点必取，于是枚举分配给左节点的课程数，右边的课程数，取一个最优值即可

注意这种由多叉树转换的二叉树深度会很深，必须 使用二叉链来存储，使用数组将会空间不足（比如下面的代码）。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 3007
using namespace std;
int n,m,s[MAXN],tr[MAXN];
int pt[MAXN],f[MAXN][MAXN];
vector<int> G[MAXN];
void convert(int u) {
	int sz=(int)G[u].size();
	if (!sz) return;
	// 插入到左节点
	int v=pt[u]<<1;
	tr[v]=G[u][0],pt[G[u][0]]=v;
	convert(G[u][0]);
	// 其他插入右节点 
	for (int i=1;i<(int)G[u].size();i++) {
		v=(v<<1)+1,tr[v]=G[u][i];
		pt[G[u][i]]=v,convert(G[u][i]);
	}
}
void Tree(int u) {
	if (tr[u]==-1) return;
	Tree(u<<1),Tree((u<<1)+1);
	for (int i=1;i<=m+1;i++) {
		if (f[(u<<1)+1][i]) f[u][i]=f[(u<<1)+1][i];
		for (int j=0;j<i;j++) {
			f[u][i]=max(f[u][i],f[u<<1][j]+f[(u<<1)+1][i-j-1]+s[tr[u]]);
		}
	}
}
int main() {
	memset(tr,-1,sizeof(tr));
	memset(f,0,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		int k; scanf("%d%d",&k,&s[i]);
		G[k].push_back(i);
	}
	pt[0]=1,tr[1]=0,convert(0),Tree(1);
	printf("%d",f[1][m+1]);
	return 0;
}