高等数学A2 2020/5/7 第二十一次课
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二重积分的计算法(下)
利用极坐标计算二重积分
直角坐标和极坐标的转换
\(\begin{cases}x=r·cos\theta\\y=r·sin\theta\end{cases}\;\;\;\;tan\beta =\frac{y}{x}\)
\(r^2=x^2+y^2\;\;\;\;r=\sqrt{x^2+y^2}\)
直角坐标 | 极坐标 |
---|---|
\(x=a\) | \(r=a·sec\theta\) |
\(y=a\) | \(r=a·csc\theta\) |
\(y=tanx\) | \(\theta=\alpha\) |
\(x^2+y^2=a^2\) | \(r=a\) |
\((x-a)^2+y^2=a^2\) | \(r=2a·cos\theta\) |
\(x^2+(y-a)^2=a^2\) | \(r=2a·sin\theta\) |
二重积分
现有用极坐标表示的区域 \(D\):
\(D=\{(r,\theta )|r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta ),\alpha \le\theta\le\beta\}\)
\(d\sigma =r\Delta r\Delta \theta=rdrd\theta\)(极坐标下的面积元素)
\(\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdrd\theta\)(先积 \(r\) 后积 \(d\))
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\int^{\beta}_{\alpha}d\theta \int^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta)}f(rcos\theta ,rsin\theta )rdr\)
例子:
\(I=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx\)
\(I^2=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx·\int^{+∞}{0}e^{-x^2}dx=\int^{+∞}_{0}e^{-x^2}dx·\int^{+∞}{0}e^{-y^2}dy\)
\(\;\;\;\;\,=\int^{+∞}_{0}\int^{+∞}_{0}e^{-x^2-y^2}dxdy=\int^{\frac{\pi }{2}}_{0}d\theta \int^{+∞}_{0}e^{-r^2}rdr=\frac{\pi }{2}·(-\frac{1}{2})[e^{-r^2}]^{+∞}_0\)
\(\;\;\;\;\,=\frac{\pi }{4}\;\;\Longrightarrow \;\;I=\sqrt{\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)
利用对称性计算二重积分
涉及函数的奇偶性、区域的对称性,具体问题具体分析
情形 | 计算方法 |
---|---|
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(x\) 轴对称 |
\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(x,-y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;y\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;y\;的奇函数\end{cases}\) |
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(y\) 轴对称 |
\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(-x,y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;x\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;y\;的奇函数\end{cases}\) |
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于原点对称 |
\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(-x,-y)d\delta\) \((2)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\begin{cases}2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\delta\;,\;\;\;关于\;x,y\;的偶函数\\0\;,\;\;\;关于\;x,y\;的奇函数\end{cases}\) |
\(D=D_1+D_2\) \(D_1\) 与 \(D_2\) 关于 \(y=x\) 对称 |
\((1)\;\iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=\iint\limits_{D}(y,x)d\delta\;\) \(D_1\;是对称轴的一侧区域\) \((2)\;且\;f(x,y)\;关于\;x\;轴和\;y\;轴对称\) \(\Longrightarrow \iint\limits_{D}f(x,y)d\delta=2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy\) |