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高等数学A2 2020/4/23 第十八次课

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方向导数和梯度

方向导数

定义

在函数定义域的内点,对某一方向求导得到的导数,一般为二元函数和三元函数的方向导数。

即,一个函数沿指定方向的变化率。

实例

函数 z=f(x,y) 在点 M0(x0,y0) 沿方向 l={cosα,cosβ} 的方向导数

fl=limρ0f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)f(x0,y0)ρ(单向函数)

特例

若在 M0(x0,y0) 上有 fx,fy 存在,则:

fx=fl 其中 l={1,0}=i

fy=fl 其中 l={0,1}=j

定理与公式

如果函数 z=f(x,y) 在带你 P(x,y) 处可微分,则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在,并且:

fl=fxcosα+fycosβl={cosα,cosβ}

(利用微分的性质来证明,略)

简而言之,多元函数可微 所有方向导数存在

fl={fx,fy}·{cosα,cosβ}=f·l0=f·l|l|=Projfl

梯度

定义:

对于二元函数,设函数 f(x,y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导,

则对于每一点 P0(x0,y0)D,定义向量 fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j

成为函数 f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 处的梯度,记作 gradf(x0,y0)(x0,y0)

简而言之,一个函数对于其自变量分别求偏导数,这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。

几何意义

根据投影公式, fl=|gradf|·cosββfl 的夹角)

β=0 时,flmax=|f|

因此向量 {fx,fy} 是使函数在一点的方向导数到最大值的方向(即梯度方向)

以二元函数为例,其所有的梯度向量 f={fx,fy,fz} 组成在任一点都得垂直于函数的等值面,

并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面,构成了最速增曲面/最速降曲面

(在一元函数中为最速增曲线/最速降曲线

梯度的运算规则(类比导数)

C=0(u±v)=u±v(ku)=ku

(uv)=vu+uv(f(u))=f(u)u(uv)=vuuvv2

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