高等数学A2 2020/4/23 第十八次课
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方向导数和梯度
方向导数
定义
在函数定义域的内点,对某一方向求导得到的导数,一般为二元函数和三元函数的方向导数。
即,一个函数沿指定方向的变化率。
实例
函数 z=f(x,y) 在点 M0(x0,y0) 沿方向 →l={cosα,cosβ} 的方向导数
∂f∂l=limρ→0f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)−f(x0,y0)ρ(单向函数)
特例
若在 M0(x0,y0) 上有 ∂f∂x,∂f∂y 存在,则:
∂f∂x=∂f∂l 其中 →l={1,0}=→i
∂f∂y=∂f∂l 其中 →l={0,1}=→j
定理与公式
如果函数 z=f(x,y) 在带你 P(x,y) 处可微分,则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在,并且:
∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ→l={cosα,cosβ}
(利用微分的性质来证明,略)
简而言之,多元函数可微 ⟹ 所有方向导数存在
∂f∂l={∂f∂x,∂f∂y}·{cosα,cosβ}=▽f·→l0=▽f·→l|→l|=Proj▽f→l
梯度
定义:
对于二元函数,设函数 f(x,y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导,
则对于每一点 P0(x0,y0)∈D,定义向量 fx(x0,y0)→i+fy(x0,y0)→j
成为函数 f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 处的梯度,记作 gradf(x0,y0) 或 ▽(x0,y0)
简而言之,一个函数对于其自变量分别求偏导数,这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。
几何意义
根据投影公式, ∂f∂l=|gradf|·cosβ(β 为 ▽f 与 →l 的夹角)
当 β=0 时,∂f∂lmax=|▽f|
因此向量 {∂f∂x,∂f∂y} 是使函数在一点的方向导数到最大值的方向(即梯度方向)
以二元函数为例,其所有的梯度向量 ▽f={fx,fy,fz} 组成在任一点都得垂直于函数的等值面,
并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面,构成了最速增曲面/最速降曲面
(在一元函数中为最速增曲线/最速降曲线)
梯度的运算规则(类比导数)
▽C=0▽(u±v)=▽u±▽v▽(ku)=k▽u
▽(uv)=v▽u+u▽v▽(f(u))=f′(u)▽u▽(uv)=v▽u−u▽vv2