图论：Prim算法 求最小生成树

Prim算法 求最小生成树

 

　　利用了蓝白点思想，先将所有点标记为蓝点。用一个数组布尔数组b 标记点的蓝白，如果为true就是蓝点，否则是白点。先定义一个整型变量mst=0，mst就是最小生成树。然后用一个二维数组w 记录 边i和边j之间的权值，再用一个一维数组mins 记录的是蓝点的最小边权，这个mins数组是关键。

　　int w[51][51];//边的权值
　　int mins[51];//蓝点的最小边权
　　bool b[51];//蓝点标记
　　int mst = 0;//最小生成树的边权和

 

　　然后将所有点都初始化为蓝点，并且将每个点的最小边权先初始化为无穷大，因为是求最小生成树。

for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        mins[i] = oo;//最小边权初始化为最大
        b[i] = true;//全部初始化为蓝点
    }//i等于0的点要初始化 方便后面每次比较找到一个最小的蓝点

 

　　然后先初始化所有点的边权为无穷大，然后再输入边权，这样两个点之间有边相连就有边权，否则两个点之间的边权就是无穷大。

for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            w[i][j] = oo;//先初始化边的权值为无穷
    int x, y, z;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        cin >> x >> y >> z;
        w[x][y] = w[y][x] = z;//存储权值
    }

　　

　　然后任选一个点开始，开始的点就把它的最小边权设为0，初始化mins[开始点]=0，我们一般选1为起点。

 mins[1] = 0;//任选一点开始

　　

　　然后就要一个外层循环，循环n个点，每次循环都要选出一个边权最小的蓝点，所以要再加一个内层循环寻找mins值最小的点，把最小边权加入mst，就相当于把这条边加入了最小生成树，因为第一次mins[1]=0，所以第一次相当于不加入边，所以一共加入n-1条边，刚好是最小生成树的边数，并且更新所有与选出的蓝点邻接的蓝点的最小边权mins值，因为更新，所以要再内层并列一个内层循环，遍历所有邻接的蓝点，更新的转移方程就是用蓝点和邻接点的蓝点的边权代替mins[邻接点]，但前提是边权要更小才能更新。注意每次选出来蓝点后要把蓝点洗白，避免重复选。

　　

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        //找到mins[k]值最小的蓝点
        int k = 0;//初始化一个比较的点
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (b[j] && mins[j] < mins[k])
                k=j;//替换之
        b[k] = 0;//洗白找到的蓝点
        mst += mins[k];//累加生成树权值

        //修改与找到的蓝点k相连的所有蓝点
        for (int j = 1; j <= n; ++j)//枚举所有点
        {
            if (b[j] && w[k][j] < mins[j])
                mins[j] = w[k][j];
        }

    }

　　

　　完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int w[51][51];//边的权值
int mins[51];//蓝点的最小边权
bool b[51];//蓝点标记
int mst = 0;//最小生成树的边权和
int main()
{
    int n, m;//n个点 m条边
    cin >> n >> m;
    int oo = 0x7fffff;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            w[i][j] = oo;//先初始化边的权值为无穷
    int x, y, z;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        cin >> x >> y >> z;
        w[x][y] = w[y][x] = z;//存储权值
    }
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        mins[i] = oo;//最小边权初始化为最大
        b[i] = true;//全部初始化为蓝点
    }//i等于0的点要初始化 方便后面每次比较找到一个最小的蓝点
    mins[1] = 0;//任选一点开始
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        //找到mins[k]值最小的蓝点
        int k = 0;//初始化一个比较的点
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (b[j] && mins[j] < mins[k])
                k=j;//替换之
        b[k] = 0;//洗白找到的蓝点
        mst += mins[k];//累加生成树权值

        //修改与找到的蓝点k相连的所有蓝点
        for (int j = 1; j <= n; ++j)//枚举所有点
        {
            if (b[j] && w[k][j] < mins[j])
                mins[j] = w[k][j];
        }

    }
    cout << mst;
    return 0;
}