图论：P1613跑路 最短路径 倍增 Floyd

P1613跑路

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题目：

 

 思路：

　　可以考虑倍增的思想，用一个四层循环来计算两个点的路径是不是二的k次方倍，具体思路就是第一层循环循环2的次方，从1循环到64，因为题目说这个机器是用longint存储的，所以最多只能跑2^64，所以只要循环到64就行了，一定要从1->64，从小到大，只有算出来小的，才能算出来大的，算是一个递推的思想，中间两层循环循环区间的端点，也就是起点和终点，在此之前我们要构建一个bool can[i][j][k]数组，代表的是起点为i，终点为j,路径是否为2^k次方，true代表可以，false代表不可以。所以最内层循环就是要循环间断点，x,如果can[i][x][k-1]为true并且can[x][j][k-1]为true，则can[i][j][k]为true,并且还要构建一个dis[i][j]数组，代表i到j的时间，所以dis[i][j]就要改成1.因为每两个k-1次方的区间合并就是k次方，这个思路把图转换为线性的区间DP的样式。然后我们算出所有的dis[i][j]，也就是每两个点之间的边权以后，用floyd算法计算最短路径即可，注意要把没有边得两个点的dis初始化为无穷大，便于floyd。

倍增算法：

　　

 for(int m=1;m<=n;++m)
        for(int i=1;i<=n;++i)
             for(int j=1;j<=n;++j)
                for(int k=1;k<=n;++k)
                {
                    if(can[i][k][m-1]&&can[k][j][m-1])//因为两个路径如果都是2^m-1  合在一起就是2^m
                    {
                        dis[i][j]=1;
                        can[i][j][m]=1;
                    }
                }

 

 

Floyd

 //floyd
    for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(int i=1;i<=n;++i)
            {
                if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
                {
                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                }
            }

 

最后的ans就是dp[1][n]了。

 

完整AC代码：

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=55;
bool can[maxn][maxn][65];//代表点i和点j之间是否有一条距离为2的k次方的路径
int dis[maxn][maxn];//代表 i 和 j之间的最短路径
int n,m,a,b;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));//求最短路径 将路径初始化为很大的值
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        cin>>a>>b;
        dis[a][b]=1;//2^0=1
        can[a][b][0]=1;
    }
    for(int m=1;m<=n;++m)
        for(int i=1;i<=n;++i)
             for(int j=1;j<=n;++j)
                for(int k=1;k<=n;++k)
                {
                    if(can[i][k][m-1]&&can[k][j][m-1])//因为两个路径如果都是2^m-1  合在一起就是2^m
                    {
                        dis[i][j]=1;
                        can[i][j][m]=1;
                    }
                }

    //floyd
    for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(int i=1;i<=n;++i)
            {
                if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
                {
                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                }
            }
    cout<<dis[1][n];
    return 0;
}