动态规划：洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 LCS (转化为LIS的做法，复杂度从n2->nlogn)
洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 LCS
直接利用DP的思路，状态转移方程，构建二维dp数组 dp[i][j] i代表的是第一个数组的前i个 j同理，dp[i][j]代表的是第一个数组前i个和第二个数组前j个的最大公共元素个数，所以可以得出状态转移方程： 如果第i个和第j个不同，则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);如果相同，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；于是我们写出代码：
一、最长公共子序列模板：
代码：
1 //p1439 【模板】最长公共子序列 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int m = 1e5; 7 int a[m], b[m], dp[10000][10000]; 8 int main() 9 { 10 int n; 11 cin >> n; 12 int len = 1; 13 for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i]; 14 for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i]; 15 for (int i = 1; i <= n; ++i) 16 for (int j = 1; j <= n; ++j) 17 if (a[i] == b[j]) 18 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j]); 19 else 20 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); 21 cout << dp[n][n]; 22 }
提交发现：
超时且超内存，我们观察本题数据范围：n最多是1e5，本题时间复杂度是O(n2) 空间复杂度也是o(n2)，显然会达到1e10的时间复杂度，显然会TLE和MLE，所以我们要改进算法。
二、LCS改进至LIS(最长公共子序列改成最长上升子序列) 重要方法!
我们观察题目，可以改进成LIS，原理是：a b 数列都是 n的全排列，所以a 和 b中的元素是相同的，只是顺序不同，所以b中的每一个元素在a中都会有一个位置，所以我们把b中在a中序列的位置 构成一个新的序列c，序列c的最长上升子序列的长度，就是a 和 b的最长公共子序列的长度 ：因为b的元素在a中的位置如果是递增，那么就是公共的子序列，如果不是 比如c序列:5 1 那么就说明b的第一个元素在a的第五个位置 第二个元素在a的第一个位置，那么第一个元素和第二个元素一定不会成为a 和 b的公共子序列。可以举例验证。
求最长上升子序列的方法，我们可以用二分的的方法，也是就nlogn的时间复杂度，具体可以看我 洛谷 P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截 的原理方法。
构建上述c序列的方法，我们可以创一个map数组，map下标代表a序列的每个元素值，map元素值存下标，然后map[b[i]]的值就是b的元素在a中的下标.
非常简便的一个做法。
接下来上代码:
1 //p1439 【模板】最长公共子序列 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int m = 1e5; 7 int a[m], b[m], map[m], dp[m]; 8 int main() 9 { 10 int n; 11 cin >> n; 12 int len = 1; 13 for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i], map[a[i]] = i;//map存a[i]元素的位置下标 14 for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> b[i]; 15 dp[1] = map[b[1]];//先初始化一个dp1 否则会错一个点 90分 16 for (int i = 2; i <= n; ++i)//二分法求最大上升子序列 17 { 18 if (map[b[i]] > dp[len]) 19 dp[++len] = map[b[i]];//dp中存的是b的每个元素在a中的下标 20 else 21 { 22 int temp = lower_bound(dp + 1, dp + 1 + len, map[b[i]]) - dp; 23 dp[temp] = map[b[i]]; 24 } 25 } 26 cout << len; 27 28 }
上结果图：时间复杂度为nlogn 大大降低
