扔鸡蛋问题

　　腾讯面试的时候，面试官问了一道算法题，然后懵逼。。 遂记录于此。嗯，下面的题，有的是说鸡蛋，有的是说花瓶，但是实质都是一样的。 

　　

1、 一个100层的楼，扔下一个鸡蛋（花瓶），怎么判断在N层不碎，N + 1层碎，思路是什么？

　　因为就一个鸡蛋，所以，我们很容易就可以想到从第一层开始扔就可以了，直到碎，说明这是N + 1层。 

 

2、一个100层的楼，给你两个一模一样的鸡蛋（花瓶），判断这个鸡蛋的硬度，即N层不碎，N + 1层碎，最少需要多少次？ 

方法一：遍历

　　这里当然也可以按照第一个问题的方法来实现，即从第一层开始向上，直到摔碎为止，但是这种方法显然是低效的。

 

方法二：二分查找

　　当时就想到了使用这种方法，即采用二分查找的思路，第一次在50层扔：如果碎了，那么从第一层开始向上扔（因为就剩下这一个了，不能取中间值了）....; 如果没有碎，就在75层扔.....。 这样貌似速度快了不少，但是如果这个瓶子恰好是49层碎呢，那么就是在50层扔碎了一次，然后从第一层开始又扔了49次，一共花费了50次，这样的结果还不过第一种方法：即开始就从第一层扔，这样最后才49层。

　　所以，这种方法也是不可取的。 

 

方法三：动态规划

　　 其实，对于这个问题，我们可以将之转化为： 如果给定2个鸡蛋，n次抛鸡蛋实验，在最坏的情况下，可以保证测出多少层。

　　在这个问题中，我们需要注意的时可以保证测出多少层。 为了保证能够在有限的n次测试中测出需要的层数，我们需要首先考虑最坏的情况，也就是第一次抛鸡蛋蛋就碎了的情况；如果第一次就碎了，那么我们为了测出楼层就只能从底层开始一层层往上抛了（因为如果不是这样，比如我从碎了的下一层开始抛，那么如果鸡蛋也碎了，就说不清了）。

　　这样，我们就确定了每次试验鸡蛋的起抛位置，那就是n层，因为在n层抛，即使碎掉了也可以保证在剩下的n - 1次试验当中，让鸡蛋覆盖这所有的n层楼，如果高于n这个数字就不可能了。

　　那么，如果我们的第一次鸡蛋没有碎呢？ 那么这个问题就很自然的转化为了：在最多n - 1次抛鸡蛋的试验中，可以保证测出多少层。 可以看出，这是一个典型的动态规划的问题。

　　

• 抛1次； 只能测出一层，毫无疑问。
• 抛2次： 从2楼起抛，如果碎了，在1楼抛；没碎，转化成一个2个鸡蛋抛一次的问题（上面这个问题），所以抛两次可以测出2 + 1 = 3层。
• 抛3次： 从3楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛； 没碎，转化为一个2个鸡蛋抛两次的问题（上面这问题），所以抛3次可以测出3 + 3 = 6层。
• 抛4次： 从4楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛三次的问题（上面这问题），所以抛4次可以测出4 + 6 = 10层。
• 抛5次： 从5楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛4次的问题（上面这问题），所以抛5次可以测出5 + 10 = 15层。　
• 抛6次： 从6楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛5次的问题（上面这问题），所以抛6次可以测出6 + 15 = 21层。
• 抛7次： 从7楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛6次的问题（上面这问题），所以抛7次可以测出7 + 21 = 28层。
• 抛8次： 从8楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛7次的问题（上面这问题），所以抛8次可以测出8 + 28 = 36层。
• 抛9次： 从9楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛8次的问题（上面这问题），所以抛9次可以测出9 + 36 = 45层。
• 抛10次： 从10楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛9次的问题（上面这问题），所以抛10次可以测出10 + 45 = 55层。
• 抛11次： 从11楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛10次的问题（上面这问题），所以抛11次可以测出11 + 55 = 66层。
• 抛12次： 从12楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛11次的问题（上面这问题），所以抛12次可以测出12 + 66 = 78层。
• 抛13次： 从13楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛12次的问题（上面这问题），所以抛13次可以测出13 + 78 = 91层。
• 抛14次： 从14楼起抛，如果碎了，从1楼开始向上抛；没碎，转化为一个2个鸡蛋抛13次的问题（上面这问题），所以抛14次可以测出14 + 91 = 105层。
• 。。。
• 。。。

　　从上面的推断中，就已经可以看出14次，就可以测出105层了，所以100层也需要14次就可以测出来。

 

 

注意：

　　可能有些同学即使大概理解，但是还不是能说清楚是否是最好情况还是最坏情况，那么我们只需要拿出其中一个例子来举例说明就可以了。 比如 2个鸡蛋抛3次能否测出一个6层高楼的临街位置，我们可以这么思考： 3次机会，我们第一次从3楼开始抛，如果碎了，那么剩下2个鸡蛋，2次机会一定可以找到临界位置，或者没有临界位置（即1层楼就会摔碎的情况）； 如果3楼没有摔碎，那么就是说4/5/6三楼还有2个鸡蛋，两次机会，而实际上4/5/6可以看做1/2/3，那么我们就拿2个鸡蛋2次机会开始，第一次从2楼抛，如果碎了，那么还有一个鸡蛋一次机会一定可以可以找到的；如果没有碎，那么还有2个鸡蛋一次机会，也就可以测试3层是否会碎。所以，通过分析，2个鸡蛋抛3次可以测出一个6层楼高的临界位置，那么同样，2个鸡蛋14次机会也可以测出105层楼高的临界位置，那么100层也一定是可以的了。

 

 

 

参考文章：记两道ebay面试题