自然数幂和
定义：
\(S(n,m)=\sum_{i=1}^ni^m\)
则有：
\(S(n,m+1)=\sum_{i=1}^ni^{m+1}\)
\(S(n+1,m+1)=\sum_{i=1}^{n+1}i^{m+1}\)
令二式直接相减可得
\(S(n+1,m+1)-S(n,m+1)=(n+1)^{m+1}\)
错位相减可得
\(S(n+1,m+1)-S(n,m+1)=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^{m+1}-i^{m+1}\)
联立二式可得
\(
\begin{aligned}
(n+1)^{m+1}&=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^{m+1}-i^{m+1}\\
&=1+\sum_{i=1}^n-i^{m+1}+\sum_{j=0}^{m+1}C_{m+1}^j*i^j\\
&=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^mC_{m+1}^j*i^j\\
&=1+\sum_{j=0}^mC_{m+1}^j*\sum_{i=1}^ni^j\\
&=1+\sum_{j=0}^mC_{m+1}^j*S(n,j)
\end{aligned}
\)
(这玩意他们叫扰动法，nodgd叫错位相减法，我是第一次见这玩意)
即
\((n+1)^{m+1}=1+\sum_{j=0}^mC_{m+1}^j*S(n,j)\)
\(S(n,m)=\frac 1{m+1}(1-(n+1)^{m+1}+\sum_{j=0}^{m-1}C_{m+1}^j*S(n,j))\)
反正大概就是这个式子
数学归纳一下就可以得出 \(S(n,m)\) 是一个关于 \(n\) 的 \(m\) 次多项式
然后对于 \(m<=1e9\) 的情况就可以 \(O(m)\) 地插值计算了单个 \(S(n,m)\) 了
PS: \(i^k\) 是积性函数，可以用线性筛 \(O(m)\) 预处理，再前缀和一下即可
