HDU 5794 A Simple Nim 2016多校第六场1003

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5795

题意：给你n堆石子，每一堆有a_i石头，每次有两种操作，第一种在任意一堆取出任意数量的石头但不能为0，第二种把一堆石头分成三堆任意数量的石头（不能为0），谁先拿完谁就赢，问是先手赢还是后手赢。

题解：这就是一个Nim游戏！那么Nim游戏一般跟SG函数有关，所以这道题打表找规律即可。

　　　关于SG函数，在这里也说一下吧！毕竟第一次接触。

　　　Nim游戏与SG函数：http://baike.baidu.com/link?url=7zmLIrfwIKbxt1JcrcKJ0yzTaCcng_CjGml8OMkhD7N1Jy-AgVGUrfBocLAlzLiGueHj0Dw4EN04ho5VSJb6n_

　　　首先我们考虑异或（^）运算，显然对于两个不相等的数异或值一定不等于0，反之一定为0。那么我们考虑两堆石头的时候，设定数量分别是a，b。当a=b的时候，也就是异或值为0，对于后手的操作，只要模仿先手即可，为什么？也就是先手取多少，后手就取多少，先手把其中一堆取完，那么后手一定能刚好把另一堆取完，所以后手必胜。那么当a≠b时，此时异或值不等于0，只要先手第一次从多的一堆取出石头使得a=b时，此时后手面对的局面是a=b（异或值为0），从刚才分析可以知道，此时对于a=b，先手跟后手刚好交换了次序，也就是说此时先手必胜。那么我们可以看到，对于两堆石头，数量相等时开始，此时的（从a=b开始）后手可以模仿先手一直到刚好取完。我们可以看到，异或值相等和不相等时分别表示两种局面。我们把对于一个人必败的局面称为P局面（此时异或值为0）。也就是说当先手或者后手面对的局面异或值为0的时候，他必败，另一个人必胜（都用最优策略）。

　　　那么对于多堆石头，这个结论是否成立呢？答案是肯定的了。那么我们先从异或的运算方法来考虑。异或也就是按位异或，当二进制位中，同一位不同数值时该位异或值为1，相同数值为0。那么当数两个数a，b他们二进制最高位为第k位的时候，两个数的异或值范围为（0~2^k+1-1）。由此，当n个数的异或值为c（c的二进制最高位为k）时，那么我们可以知道一定存数的最高位>=k，并且一定存在数>=c。那么从这里可以看出，当n堆石头异或值为0的时候，一次操作后使得异或值改变为c的时候，根据前面可以知道一定有数>-=c，也就是说下一次操作一定可以是的局面再变为0。那么我们可以总结出一个普遍化规律：当当前局面为0的时候，也就是P局面，无论此时的先手怎么操作，此时的后手一定可以使得局面再变为0。因此，n堆石头也符合规律。

　　　那么，SG函数就是用来描述当前局面。准确来说，SG函数是描述有向无环图游戏局面的。首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。那么对于SG（x），sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后继 }，y也就是x能够到达的子局面，比如说当前x=3，那么他可以取1个石头到达局面2，取两个到达局面1，取3个到达局面0，也就是说sg（3）=mex{sg（2），sg（1），sg（0）}。那么整个游戏的总和为sg=sg（0）^sg(1)^sg(2)^……^sg（n）。sg（0）=0。

　　　对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游 戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。

　　　回到本题中，题目两种操作，那么对于某一堆的sg值怎么求呢。我们考虑一堆石头数量为x时，那么对于第一种操作，子局面的sg是显然的。对于第二种操作，x分成a，b，c。a+b+c=x，那么这个操作产生的三堆，三个子局面，那么这个子游戏的总和就是sg（a）^sg（b）^sg（c）。比如x=7时，通过第二个操作可以产生子游戏1，2，4。那么这个子游戏的局面就是sg（1）^sg（2）^sg（4）。

　　　根据以上，通过递推可知道：

　　　sg[0]=0

　　　当x=8k+7时sg[x]=8k+8，

　　　当x=8k+8时sg[x]=8k+7,

　　　其余时候sg[x]=x，（k>=0）。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int cnt;

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {        
        cnt=0;
        cin>>n;
        int a;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            if(a%8==0)
                cnt^=a-1;
            else if((a+1)%8==0)
                cnt^=a+1;
            else
                cnt^=a;
        }
        if(!cnt)
            puts("Second player wins.");
        else
            puts("First player wins.");
    }
    return 0;
}