二叉树详解

   树是一种比较重要的数据结构，尤其是二叉树。二叉树是一种特殊的树，在二叉树中每个节点最多有两个子节点，一般称为左子节点和右子节点（或左孩子和右孩子），并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。本篇博客将详细为大家解析二叉树。

 

首先介绍两个概念：

满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都有左孩子和右孩子结点，并且叶子结点都集中在二叉树的最下层，这样的树叫做满二叉树

 

如：

 

完全二叉树：若二叉树中最多只有最下面两层的结点的度数可以小于2，并且最下面一层的叶子结点都是依次排列在该层最左边的位置上，则称为完全二叉树

 

如：

 区别：满二叉树是完全二叉树的特例，因为满二叉树已经满了，而完全并不代表满。所以形态你也应该想象出来了吧，满指的是出了叶子节点外每个节点都有两个孩子，而完全的含义则是最后一层没有满，并没有满。

 

      

二叉树的链式存储结构是一类重要的数据结构，定义结果为：

//定义树的结构
struct node
{
    node * lchild;
    node * rchild;
    string data;
    //初始化
    node()
    {
        lchild=rchild=NULL;
    }
};

 

二叉树的建立

 

首先我们用户输入生成一棵二叉树，要生的的二叉树如下图所示：

#代表空结点。

 下面我们根据上面图中所示的二叉树，利用先序依次输入ABDG###E#H##C#F##(即先序遍历）

生成二叉树的代码如下：

//二叉树生成--先序遍历输入要生成的二叉树数据，#代表空结点
void CreateTree(node * & root)
{
     char data;
     cin>>data;
     if(data!='#')
     {
         root=new node;
         root->data=data;

         CreateTree(root->lchild);

         CreateTree(root->rchild);

     }
}

 

二叉树节点查找

采用递归的方法在二叉树root里查找只为aim的结点，若找到此节点则返回其指针，否则返回NULL

查找代码如下：

//检查二叉树是否包含数据aim,有则返回其指针
node * Findnode(node * & root,string aim)
{
    node * p;
    if(root==NULL)//空树
        return NULL;
    else if(root->data==aim)
        return root;
    else
    {
        p=Findnode(root->lchild,aim);
        if(p!=NULL)
            return p;
        else
            return Findnode(root->rchild,aim);
    }
}

 这里解释一下递归中的return的意思：

return 对当前函数来说是结束了，对调用它的父函数来说你这个函数执行完成了，父函数就会接着执行下一语句。
没想到父函数马上又遇到一个return,父函数结束了，对爷爷函数来说父函数执行完成了，爷爷函数就接着执行下一个语句

 

二叉树遍历

1.先序遍历

先序遍历过程是：

1）访问根结点

2）先序遍历左子树

3）先序遍历右子树

先序遍历代码为：

 

void  PreOrder(node * root)//先序遍历
{
    if(root!=NULL)
    {
        cout<<root->data;
        PreOrder(root->lchild);
        PreOrder(root->rchild);
    }
}

 

2.中序遍历

中序遍历过程是：1）中序遍历左子树

2）访问根结点

3）中序遍历右子树

 

中序遍历的代码：

 

void  InOrder(node * root)//中序遍历
{
    if(root!=NULL)
    {

        InOrder(root->lchild);
        cout<<root->data;
        InOrder(root->rchild);
    }
}

 

3.后续遍历后序遍历过程是：

1）后序遍历左子树

2）后序遍历右子树3）访问根结点

 

后序遍历代码为：

 

void  PostOrder(node * root)//后序遍历
{
    if(root!=NULL)
    {

        PostOrder(root->lchild);
        PostOrder(root->rchild);
        cout<<root->data;
    }
}

 

二叉树高度计算

递归解法：
（1）如果二叉树为空，二叉树的深度为0
（2）如果二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度， 右子树深度) + 1

代码如下：

int NodeHeight(node * root)//计算二叉树高度
{
    int lchild,rchlid;
    if(root==NULL)
        return 0;
    else
    {
        lchild=NodeHeight(root->lchild);
        rchlid=NodeHeight(root->rchild);
        return (lchild>rchlid)?(lchild+1):(rchlid+1);
    }
}

 

 

输出二叉树叶子节点

递归解法：
参考代码如下：

void Showleaf(node * root)
{
    if(root!=NULL)
    {
        if(root->lchild==NULL&&root->rchild==NULL)
            cout<<root->data;
        Showleaf(root->lchild);//输出左子树叶子节点
        Showleaf(root->rchild);//输出右子树叶子节点
    }
}

 

运行结果为：

 

附上源代码地址：https://github.com/longpo/algorithm/tree/master/Btree

 

递归分析

上面源代码中，大量运用了递归算法，

下面我们来分析其中一个递归的过程。

二叉树结构为：

 利用先序遍历，即代码为：

void  PreOrder(node * root)//先序遍历
{
    if(root!=NULL)
    {
        cout<<root->data;
        PreOrder(root->lchild);
        PreOrder(root->rchild);
    }
}

 

画出其运行状态图：